Ist U ein Unterraum ? Wieso ist da die Abgeschlossenheit der Addition nicht verletzt?

Question

Aufgabe: Ist U ein Unterraum ?

\(U = \left\{\left(\mu+\lambda, \lambda^{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: \mu, \lambda \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{R}^{2}\)

Problem/Ansatz:

Ich kriege, dass die Addition nicht abgeschlossen ist. 
Das Lösungsbuch sagt aber nur dass die Skalarmultiplikation verletzt ist. 
Das verwirrt mich da: 

Seien x,y aus U

x + y = \( \begin{pmatrix} (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) \\x^2 + y^2\end{pmatrix} \)

Wieso schlägt Abgeschlossenheit der Addition fehl?
Ich brauche die Zweite Komponente der Addition als einen Ausdruck hoch 2.
Ich habe aber $$x^2 + y^2 ≠ (x+y)^2$$
Darum schlägt die Abgeschlossenheit der Addition meiner Meinung auch fehl.


Frage:
Kann das jemand überprüfen ?

Answer 1

Seien \( \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix} \in U\) und \( \vec{w} = \begin{pmatrix} w_1\\w_2 \end{pmatrix} \in U\).

Seien \(\lambda = \sqrt{\left|v_2+w_2\right|}\) und \(\mu = v_1 + w_1 - \lambda\).

Dann ist

        \(\begin{aligned}\vec{v} + \vec{w} &= \begin{pmatrix} v_1+w_1\\v_2+w_2 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} \left(v_1+w_1-\sqrt{\left|v_2+w_2\right|}\right)+\sqrt{\left|v_2+w_2\right|}\\\left(\sqrt{\left|v_2+w_2\right|}\right)^2 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}\mu+\lambda\\\lambda^2\end{pmatrix}\in U\end{aligned}\).

Comments

Ich habe jetzt lustigerweise fast genau ein Jahr später das selbe Problem, und ich hau schon seit ein paar Stunden meinen Kopf gegen die Wand im Versuch das zu verstehen. Deswegen danke für deine Antwort, allerdings bin ich immer noch etwas verwirrt.

Ich kann mir das im dritten Schritt nur so erklären, dass du im Grunde erstmal nur "normal" komponentenweise addierst, also v1 + w1 und v2 + w2 rechnest, egal was die für Werte haben.

Und dann werden zwei Schritte gemacht, damit es mit dem My und dem Lambda hinkommt, die man machen darf weil sie sich gegenseitig aufheben? Also was addieren und dann wieder abziehen, und Wurzel ziehen und Quadrieren?

Ist das so richtig oder hab ich das komplett falsch verstanden? Weil sonst versteh ich echt nicht wie man im dritten Schritt darauf kommt.

---

die man machen darf weil sie sich gegenseitig aufheben?

Ja.

Und den Fehler in dem Fall \(v_2 + w_2< 0\) habe ich korrigiert.

---

Nochmal danke für deine Antwort. Hab's jetzt dann glaube ich endlich verstanden. Würde upvoten wenn ich könnte :D