Lösungsmenge ermitteln von Potenzgleichungen

Question

Aufgabe:

Hallo, wer kann helfen? Es ist sind die Lösungsmengen von Potenzgleichungen zu bestimmen. Hier ein Beispiel, von welchem ich auch die Lösung habe. Aber wie man darauf kommt und wie mal allgemein bei solchen Aufgaben vorgehen muss, ist mir ein Rätsel.

Hier beispielhaft eine Aufgabe "Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung":

x^n = a  mit a<0 und n ungerade

Problem/Ansatz:

Ich habe es mit einer Wertetabelle versucht, komme aber nicht auf diese Lösung, welche lauten soll (ich muss es in Worten schreiben, hab die Zeichen hier auf dem PC nicht).

L = in geschweife Klammern minus n-te Wurzel von a

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Welche Grundmenge ist denn vorgesehen ?

Answer 1

Das Problem bei Gleichungen von der Art

x^n = a  liegt in den unterschiedlichen Fällen,

die bei n und a zu unterscheiden sind.

n ist wohl immer eine nat. Zahl > 0 , also 1,2,3,...

1.   a=0   dann gilt immer   L = {0}

2.  a>0 und n gerade :  Dann gibt es immer 2 Lösungen

                        L = {-n-te√a ;  n-te√a }

3.   a>0 und n ungerade :

Dann gibt es immer 1 Lösung                        L = {  n-te√a }

4.   a<0 und n gerade :  Dann gibt es keine Lösungen.

5.   a<0 und n ungerade :  Dann gibt es immer

1 Lösung                        L = { - n-te√(-a) }

etwa bei 5.   x^3 = -8  also a = 8  also -a = 8

und 3.Wurzel von 8 ist 2 also -2 die Lösung.

Probe:   (-2)^3 = -8 stimmt !

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Answer 2

xⁿ = a  mit a<0 und n ungerade

hat n Lösungen für x, von denen nur eine reell ist. Diese erhält man durch Ziehen der n-ten Wurzel auf beiden Seiten. Das ist das Gleiche, wie das Potenzieren mit 1/n auf beiden Seiten:

(xⁿ)^1/n = a^1/n

Links wird eine Potenz xⁿ mit 1/n potenziert. Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

x^n·1/n = a^1/n

x¹=a^1/n, weil n·1/n=1, also

x=a^1/n .