Wie berechne ich eine unendliche Reihe mit Fakultät im Nenner?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden Reihe:
\( \sum\limits_{n=2}^{\infty}{k/(k+1)!} \)

von k=2 bis unendlich

Ansatz:

leider gar keinen..

liebe Grüße

Answer 1

Tipp:

Es gilt:$$\sum_{k=1}^\infty\frac{(k+1)-1}{(k+1)!}=\sum_{k=1}^\infty\left[\frac{k+1}{(k+1)!}-\frac1{(k+1)!}\right]$$ Ich sag nur Teleskop

Comments

+1-1 im Zähler darf ich ergänzen da es null ergibt oder?

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Ja, das ist eine "nahrhafte Null" :

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ist das oben im Kommentar von Der_Mathecoach nicht schon die Ausführung der Teleskopsumme?

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Ja, in der Tat!

Answer 2

∑ (k = 2 bis ∞) (k/(k + 1)!)

= ∑ (k = 2 bis ∞) ((k + 1 - 1)/(k + 1)!)

= ∑ (k = 2 bis ∞) ((k + 1)/(k + 1)! - 1/(k + 1)!)

= ∑ (k = 2 bis ∞) (1/k! - 1/(k + 1)!)

= (1/2! - 1/3!) + (1/3! - 1/4!) + (1/4! - 1/5!) + ...

Erkennst du etwas?

= 1/2! - 0 = 1/2

Comments

= 1/2! - 0 = 1/2

Wie kommst du genau darauf, etwa weil du die Klammern anders gesetzt hast, weil es bei Addition und Subtraktion keinen Unterschied macht?

Also dann

 1/2! + (- 1/3! + 1/3! ) +  (-1/4! + 1/4! ) +  (- 1/5! + 1/5!) ...

1/2! + 0                      + 0.                   + 0.                  + .... (immer Nullen!) 

Stimmt's?

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Aber die Summation startet doch bei 2. Wieso kommt am Ende aus der 4 Zeile eine 1/k! heraus?

Also  Die Umformung von

(k + 1)/(k + 1)!

nach hier

1/k!

verstehe ich nicht.

 

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Völlig richtig. Das Ganze nennt sich eine Teleskopsumme.

Siehe dazu: https://de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme

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Super Vielen Dank!!

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(k + 1)/(k + 1)! = (k + 1)/(k! * (k + 1)) = 1/(k! * 1) = 1/k!

Answer 3

Die Reihe konvergiert offensichtlich gegen \( \frac{1}{2} \).