Komplexe Zahlen und Matrizen

Question

Habe hier 3 Aufgaben bei denen ich kurz eine Hilfe benötige hoffe ihr könnt mir helfen wie ich die Aufgaben besser lösen kann.

Aufgabe 1: Bestimmen sie alle z ∈ ℂ für die  (z-\( \frac{3}{2} \)i)\( ^{3} \) +27i=0 gilt.Geben Sie die Lösungen in kartesischen Koordinaten an.
Aufgabe 2 :

Lösen Sie die Gleichung  z\( ^{2} \)-(2+4i)z+5+(4-8\( \sqrt{3} \) )i = 0

mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische
Gleichungen. Geben Sie die Lösungen in kartesischer Form an.

Aufgabe 3: Gegeben seien die Matrizen A =\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} \)  und B=\( \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \) Bestimmen sie die Matrix X =\( \begin{pmatrix} x1 & x2 \\ x3 & x4 \end{pmatrix} \) die , die Gleichung XA=B erfüllt. Für Paar vorschläge wäre ich sehr dankbar .

Liebe Grüße

Comments

(1)  Faktorisiere \((z-\tfrac32\mathrm i)^3-(3\mathrm i)^3=\tfrac18(2z-9\mathrm i)(4z^2-27)\).

Answer 1

Hallo,

Aufgabe 2)

\( z^{2}-(2+4 i) z+5+(4-8 \sqrt{3}) i=0 \)

\( z_{1 / 2}=\frac{2+4 i}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2+4 i}{2}\right)^{2}-5-4 i+8 \sqrt{3} i} \)

\( z_{1,2}=1+2i \pm \sqrt{(1+2i)^{2}-5-4i+8 \sqrt{3}i} \)

\( z_{1,2}=1+2 i \pm \sqrt{-1+4i-4-5-4 i+8 \sqrt{3}i} \)

\( z_{12}=1+2 i \pm \sqrt{-8+8 \sqrt{3} i} \)

\( z_{12}=1+2 i \pm 2+2 \sqrt{3}i \)
\( z_{1}=3+2 i(1+\sqrt{3}) \)
\( z_{2}=-1-2 i(\sqrt{3}-1) \)

Comments

Hey erstmal vielen dank für die schnelle antwort. ich hätte da mal eine frage und zwar die minus 8 in der wurzel darf man die denn einfach so ziehen meine das man eine negative wurzel nicht ziehen darf.

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Du mußt das unter Wurzel in die exp. Form bringen  (Betrag +Winkel),

dann geht das.

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Hallo,

Aufgabe 1)

Substituiere v= z -(3/2) i

->v^3 +27i =0

v^3= -27i

Wende dann folgende Formel an:

v_k= |v₁|^ 1/n    e^(i(φ +2kπ))/n , k=0.1.2

Resubstituiere zum Schluß

Lösungen:

\( z=-\frac{3 \sqrt{3}}{2} \)

 \( z=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \)

\( z=\frac{9 i}{2} \)