So, inzwischen sind ja die fehlenden Daten, die eigentlich schon von Anfang an bereits der Frage hätten beigefügt werden sollen, nachgereicht worden. Demnach kann also die Beschleunigungskurve durch $$a(t)=\begin{cases} 0.5\cdot t & 0\le t\le 4\\ 2 & 4\le t\le 12\\ -t+14 & 12\le t\le14 \end{cases}$$ beschrieben werden. Die Ansätze des Fragers waren also schonmal gut. Die Geschwindigkeitsfunktion ergibt sich durch Integration: $$v(t)=\int_{0}^{t} a(u)\textrm{ d}u=\begin{cases} 0.25\cdot t^2+C_1 & 0\le t\le 4\\ 2t+C_2 & 4\le t\le 12\\ -0.5\cdot t^2+14t+C_3 & 12\le t\le14 \end{cases}$$ Die Integrationskonstanten \(C_1\), \(C_2\) und \(C_3\) [in m/s] sind hier wichtig und müssen noch bestimmt werden. Da die Anfangsgeschwindigkeit 10 m/s betragen soll (das steht auch nicht in der Frage), wählen wir \(C_1=10\).
An der ersten Nahtstelle \(t=4\) ändert sich die Geschwindigkeit nicht sprunghaft (ich habe, um das deutlich zu betonen, überall \(\le\) verwendet!), es muss also \(0.25\cdot 4^2+10=2\cdot 4+C_2\) gelten, was zu \(C_2=6\) führt.
An der zweiten Nahtstelle \(t=12\) verhält es sich entsprechend, dort muss \(2\cdot 12+6=-0.5\cdot 12^2+14\cdot 12+C_3\) gelten, woraus \(C_3=-66\) folgt. Damit gilt für die gesuchte Geschwindigkeits- Zeit- Funktion: $$v(t)=\int_{0}^{t} a(u)\textrm{ d}u=\begin{cases} 0.25\cdot t^2+10 & 0\le t\le 4\\ 2t+6 & 4\le t\le 12\\ -0.5\cdot t^2+14t-66 & 12\le t\le14 \end{cases} $$
