Beschleunigungsprofil einer Autofahrt ist gegeben: Geschwindigkeits- Zeitfunktion ermitteln

Question

Aufgabe:

Hallo, Ich soll die Geschwindigkeits zeit Funktion im Intervall [0;14] ermitteln und gegeben sind folgende Funktionen:

0.5t

2

-t+14

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die Geschwindigkeit das Integral von der Beschleunigung ist, hab es mir von Geogebra ausrechnen lassen und bin auf die Ergebnisse gekommen:

0.25t² + 0

2t

-0.5t²+14t

Nun steht in der Lösung:

v1= (t²/4) + 10

woher die 10??

v2= 2t+6

hier wieder: wieso die 6? und wieso berechnet mir das Geogebra falsch?

-t²/2 +14t-66

Ich habe einfach die Funktionen eingezeichnet und bei der Eingabeleiste unten dann zB.: Integral (a(t)) eingegeben damit ich die Integral Funktion bekomme...

In der Angabe steht auch die Anfangsgeschwindigkeit beträgt 10m/s

Das erklärt die erste Funktion also das +10

aber der Rest?

Comments

Ich stelle einmal die Grafik zur Frage ein
bevor hier noch weiter herumgeirrt wird.

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Es handelt sich um eine ungleichförmig
beschleunigte Bewegung ( Autofahrt )
1 .. 4 sec : a = 0 bis 2 m/s²
( Der Fahrer tritt das Gaspedal immer tiefer )
4 .. 12 sec : a = const = 2 m/s²
12..14 sec : a = 2 bis 0 m/s²

Inter... : a proportional t
1.Abschnitt
0..4 sec
a ( t ) = 2 / 4 * t = 0.5 * t m/s²
v ( t )  = 0.5 * t² / 2 + 10
v ( t ) = 0.25 * t² + 10 m/s
v ( 4 ) = 0.25 * 4² + 10 m/s
v ( 4 ) = 14 m/s
2.Abschnitt
4..12 sec
v = 2 * 8 = 16 m/s
v1 + v2 = 14 * 16 = 30 m/s
3.Abschnitt
12..14 sec
a ( t ) = 
( t | a )
( 12 | 2 )
( 14 | 0 )
m = ( 0 - 2 )/(14 - 12)
m = - 1
2 = -1 * 12 + b
b = 14
a ( t ) = - t + 14
S ( t ) = ∫ a dt
S ( t ) = -t²/2  + 14t
zwischen 12 und 14
[ - t² / 2 + 14 * t ] 12 .. 14
- 14² / 2 + 14 * 14 minus  - 12² / 2 + 14 * 12
v = 2
30 + 2 = 32 m/s

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aber in der lösung vom Buch steht

+6 und -66 als konstante

ist die Lösung falsch?

Answer 1

So, inzwischen sind ja die fehlenden Daten, die eigentlich schon von Anfang an bereits der Frage hätten beigefügt werden sollen, nachgereicht worden. Demnach kann also die Beschleunigungskurve durch $$a(t)=\begin{cases} 0.5\cdot t & 0\le t\le 4\\ 2 & 4\le t\le 12\\ -t+14 & 12\le t\le14 \end{cases}$$ beschrieben werden. Die Ansätze des Fragers waren also schonmal gut. Die Geschwindigkeitsfunktion ergibt sich durch Integration: $$v(t)=\int_{0}^{t} a(u)\textrm{ d}u=\begin{cases} 0.25\cdot t^2+C_1 & 0\le t\le 4\\ 2t+C_2 & 4\le t\le 12\\ -0.5\cdot t^2+14t+C_3 & 12\le t\le14 \end{cases}$$ Die Integrationskonstanten $C_1$, $C_2$ und $C_3$ [in m/s] sind hier wichtig und müssen noch bestimmt werden. Da die Anfangsgeschwindigkeit 10 m/s betragen soll (das steht auch nicht in der Frage), wählen wir $C_1=10$.

An der ersten Nahtstelle $t=4$ ändert sich die Geschwindigkeit nicht sprunghaft (ich habe, um das deutlich zu betonen, überall $\le$ verwendet!), es muss also $0.25\cdot 4^2+10=2\cdot 4+C_2$ gelten, was zu $C_2=6$ führt.

An der zweiten Nahtstelle $t=12$ verhält es sich entsprechend, dort muss $2\cdot 12+6=-0.5\cdot 12^2+14\cdot 12+C_3$ gelten, woraus $C_3=-66$ folgt. Damit gilt für die gesuchte Geschwindigkeits- Zeit- Funktion: $$v(t)=\int_{0}^{t} a(u)\textrm{ d}u=\begin{cases} 0.25\cdot t^2+10 & 0\le t\le 4\\ 2t+6 & 4\le t\le 12\\ -0.5\cdot t^2+14t-66 & 12\le t\le14 \end{cases}$$

Answer 2

Vielleicht war bekannt:

Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0 ist 10  ?

bzw. 6.

Durch das Integrieren erhältst du ja nur

irgendeine Stammfunktion, dazu musst du ggf.

noch eine Konstante addieren.

Comments

Ja es steht die Anfangsgeschwindigkeit ist 10m/s

Jetzt verstehe ich die erste Funktion aber wie kommt man bei der zweiten auf 6 und bei der dritten auf 66 als Konstante?

Answer 3

Die Skizze und die Fragen sind oben bei Kommentar.
Die Lösungen sind

Anfangsgeschwingkeit 10 m/s.
Die Geschwindigkeit ist die Fläche unterhalb der Beschleunigung.

Abschnitt 1
a ( t ) = 0.5 * t
Abschnitt 2
a= 2
Abschnitt 3
a ( t ) = - t + 14
Die Funktion muß später stückweise definiert werden.

Zunächst die Gesamtgeschwindigkeit
Abschnitt 1 ( Dreieckfläche )
v = 4 * 2 / 2 = 4
Abschnitt 2 ( Rechteck )
v = ( 12 - 4 ) * 2 = 16
Abschnitt 3 ( Dreieck )
v = ( 14 - 12 ) * 2 / 2 = 2
Gesamt v = 4 + 16 + 2 + ( v0=10 ) = 32 m/s

Die stückwese Funktion für v folgt später.

Comments

1.) Abschnitt 0 < x < 4
a = 0.5 * t ( Funktionswert / Höhe Dreieck )
v ( t ) = a * t * 1/2 = 0.5 * t * t * 1/2
v ( t ) = 1/4 * t² ( ohne Anfangsgeschwindigkeit )
v ( t ) = 1/4 * t² + 10 ( mit v0 )

v ( 4 ) = 1/4 * t² = 4 m/s ( ohne v0 )

2. Abschnitt 4 < x < 12
a = const = 2
v ( t ) = a * ( t - 4 ) = 2t - 8 ( ohne v aus 1 )
v ( t )  = 2t - 8 + 4 = 2t - 4 ( mit v aus 1 )
v ( t ) = 2t - 4 + 10 = 2t + 6 ( plus v0 )

v ( 12 ) = 2 * t - 4  = 20 ( mit v aus 1 )


3. Abschnitt 12 < x < 14
a = -t + 14
v ( t ) = ( 2 + a )  / 2  * ( t - 12 )  ( Trapez )
v ( t ) =  ( 2 + ( -t + 14 ) )  / 2  * ( t - 12 ) 
v ( t ) =  t² / 2 + 14*t - 96 ( ohne v aus 2 )
v ( t ) = - t² / 2 + 14*t - 96  + 20 ( mit v aus 2 )
v ( t ) = - t² / 2 + 14*t - 76 ( mit v aus 2 )
v ( t ) =  - t² / 2 + 14*t - 76 + 10( plus v0 )
v ( t ) =  - t² / 2 + 14*t - 66 ( plus v0 )

v ( 14 ) = 32 m/s

0 < x < 4  : v ( t ) = 1/4 * t² + 10
4 < x < 12 : v ( t ) = 2t + 6
12 < x < 14 : - t² / 2 + 14*t - 66

oioioioi

Frag nach bis alles klar ist.