Antwort mit KI erzeugt
Aufstellung des Problems:
Du sollst eine Basis für den Untervektorraum \( W \) finden, der durch die Vektoren \((1,0,1,0,1)\), \((0,0,1,0,1)\), \((0,0,0,1,0)\), \((1,0,1,1,1)\), und \((1,0,0,1,0)\) im Vektorraum \(\mathbb{F}^5_2\) aufgespannt wird.
Schritt-für-Schritt-Anleitung:
1.
Matrix aufstellen:
Schreibe die Vektoren als Zeilen einer Matrix.
\(
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\)
2.
Rang der Matrix und Basis ermitteln:
Bringe die Matrix \( A \) in Zeilenstufenform (oder reduzierte Zeilenstufenform), um lineare Unabhängigkeit zu überprüfen und eine Basis zu finden.
Umformen in Zeilenstufenform:
Starte mit der ersten Zeile und eliminiere die entsprechenden Einträge in den folgenden Zeilen:
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\)
Subtrahiere die erste Zeile von der vierten und fünften Zeile:
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\)
Die vierte Zeile ist gleich der dritten Zeile, also können wir sie entfernen:
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\)
Nun subtrahieren wir die zweite Zeile von der vierten Zeile:
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\)
Hier sehen wir, dass die dritte und vierte Zeile identisch sind und wir daher die vierte Zeile entfernen können:
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\)
Die resultierende Matrix ist nun in Zeilenstufenform und verweist auf die Vektoren, die die Basis des Untervektorraums darstellen.
Ergebnis:
Die Basis des Untervektorraums \( W \), aufgespannt von den Vektoren \((1,0,1,0,1)\), \((0,0,1,0,1)\), \((0,0,0,1,0)\), \((1,0,1,1,1)\), und \((1,0,0,1,0)\), besteht aus den Vektoren:
\(
\{(1,0,1,0,1), (0,0,1,0,1), (0,0,0,1,0)\}.
\)
Diese Vektoren sind linear unabhängig und spannen den Raum \( W \) vollständig auf.
