Lineare Algebra 1 - Bestimmung der Dimension und einer Basis des folgenden Vektorraumes.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension der folgenden Vektorräume:

$$\left\{(x, y) \in \mathbb{C}^{2} | x+i y=0\right\} \text { als Vektorraum über } \mathbb{C}$$

Lösung Prof: $$\begin{array}{l}{\text { Sei } V \text { der Vektorraum }\left\{(x, y) \in \mathbb{C}^{2} | x+i y=0\right\} \text { über } \mathbb{C} . \text { Sei }(x, y) \in V . \text { Dann }} \\ {\text { gilt } x+i y=0 \Rightarrow y=i x \text { und deshalb gilt }(x, y)=(x, i x)=x(1, i) \text { für }} \\ {\text { jedes }(x, y) \in V . \text { Also können wir jedes }(x, y) \in V \text { als Linearkombination des }} \\ {\text { Vektors }(1, i) \text { schreiben. Dieser ist linear unabhängig in } \mathbb{C}^{2} \text { und somit eine }} \\ {\text { Basis von } V . \text { Die komplexe Dimension des Vektorraums ist daher eins. (Die }} \\ { \text { reelle Dimension ist zwei, siehe e } )) .}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

In der Lösung steht dass aus \(x+iy = 0\) folgt dass \(y = ix\)

Aber ich sehe nur dass 

\(x + iy = 0 ⇒ x = -iy.\) 

Wenn ich jetzt nach \(y\) aufösen würde, 
müsste ich auf beiden Seiten durch \(-i\) teilen. 

Also: \(\frac{x}{-i} = y\)

Frage:
Was mache ich falsch ? 

Answer 1

Aloha :)

$$x+iy=0\quad\Leftrightarrow\quad iy=-x \quad\Leftrightarrow\quad iy=i^2x\quad\Leftrightarrow\quad y=ix$$

Answer 2

Ist nix falsch, du musst nur weiter rechnen

y = x / -i  =  1/-i  * x   =  i*x

denn 1 / -i = i  weil   -i*i = -(-1)=1