UVR zeigen ( f(V1) c W und f^-1(W) c V )

Question

Aufgabe:

Sei f: V -> W linear und V1 c V sowie W1 c W Untervektorräume. Zeigen Sie, dass f(V1) c W und f^-1(W1) c V Untervektorräume sind.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keine Ahnung, was ich tun muss. Ich weiß, dass man bei einer Linearen Abbildung Homogenität und Additivität zeigen muss, jedoch ist hier ja schon vorgegeben, dass f linear ist.

Wäre dankbar für jeden Ansatz/ Lösungsweg.

Answer 1

Ich weiß, dass man bei einer Linearen Abbildung Homogenität und Additivität zeigen muss, jedoch ist hier ja schon vorgegeben, dass f linear ist.

Genau, gezeigt werden soll,. dass z.B.  f(V1) ein Untervektorraum von W ist.

Dazu musst du die Abgeschlossenheit von   f(V1) gegenüber Addition und Multiplikation

mit reellen Zahlen zeigen (Wenn es R-Vektorräume sind.) und dass mit jedem

Element sein inverses auch drin ist. Also los:

Seien u,v aus   f(V1)

==>  es gibt x und y aus V1 mit f(x)=u und f(y)=v

==>   u+v = f(x)+f(y) und jetzt wegen der Additivität von f

              =  f(x+y)   und da V1 ein Unterraum ist, ist auch x+y aus V1

Also gibt es ein z aus V1 mit f(z) = u+v  (nämlich z=x+y)

==>   u+v aus f(V1) .

Damit ist die Abgescl. von f(V1) bezügl.  der Add. gezeigt.

etc.