Bestimmen Sie in diesem Fall die Inverse.

Question

Für welche x ∈ ℝ ist die Matrix

A = \( \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix} \) ∈ ℝ ^3×3

invertierbar? Bestimmen Sie in diesem Fall die Inverse.

Answer 1

Aloha :)

Zum Invertieren einer Matrix kannst du den Gauß-Jordan-Algorithmus verwenden. Dazu schreibst du die zu invertierende Matrix und die Einheitsmatrix nebeneinander. Dann bringst du mittels elementarer Zeilenumformungen die zu invertierende Matrix auf die Form einer Einheitsmatrix. Alle dazu nötigen Zeilenumformungen führst du auch an der anderen Matrix durch. Aus der ursprünglichen Einheitsmatrix ist dann die inverse Matrix geworden:

$$\left(\begin{array}{c}x & 1 & 1\\0 & x & 1\\0 & 0 & x\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Im ersten Schritt dividieren wir alle Zeilen durch \(x\). Damit das funktioniert, muss \(x\ne0\) sein. Das beantwortet nebenbei die Frage, für welche \(x\) die Matrix invertierbar ist:

$$\left(\begin{array}{c}1 & \frac{1}{x} & \frac{1}{x}\\0 & 1 & \frac{1}{x}\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}\frac{1}{x} & 0 & 0\\0 & \frac{1}{x} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{x}\end{array}\right)$$Jetzt subtrahieren wir das \(\frac{1}{x}\)-fache der zweiten Zeile von der ersten:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\\0 & 1 & \frac{1}{x}\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}\frac{1}{x} & -\frac{1}{x^2} & 0\\0 & \frac{1}{x} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{x}\end{array}\right)$$Jetzt subtrahieren wir das \(\frac{1}{x}\)-fache der dritten Zeile von der zweiten und von der ersten Zeile:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & -\frac{1}{x^2}\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}\frac{1}{x} & -\frac{1}{x^2} & -\frac{1}{x^2}\\0 & \frac{1}{x} & -\frac{1}{x^2}\\0 & 0 & \frac{1}{x}\end{array}\right)$$Schließlich addieren wir das \(\frac{1}{x^2}\)-fache der dritten Zeile zur ersten Zeile:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}\frac{1}{x} & -\frac{1}{x^2} & \frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}\\0 & \frac{1}{x} & -\frac{1}{x^2}\\0 & 0 & \frac{1}{x}\end{array}\right)$$Die inverse Matrix lautet daher:

$$\left(\begin{array}{c}\frac{1}{x} & -\frac{1}{x^2} & \frac{1-x}{x^3}\\0 & \frac{1}{x} & -\frac{1}{x^2}\\0 & 0 & \frac{1}{x}\end{array}\right)$$

Comments

Danke sehr ! Vorallem für die schrit für schritt erklärung.

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Was ist im fall x=0

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Im Fall \(x=0\) ist die Matrix nicht invertierbar.

Answer 2

Löse die Gleichung (besser gesagt: das Gleichungssystem)

\(\begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h& i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Comments

Wie löst man die Gleichung? Was muss man mit was multiplizieren?

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Mache dich darüber schlau, wie man zwei Matrizen multipliziert.

Answer 3

a) Wenn x ≠ 0 ist, ist die Matrix invertierbar.

b) Bestimme die inverse Matrix zur gegebenen Matrix.

Comments

Liest du eigentlich manchmal deine eigenen Antworten?

Frage:

Bestimmen Sie in diesem Fall die Inverse.

Deine Antwort auf diesen Teil:

b) Bestimme die inverse Matrix zur gegebenen Matrix.

So etwas nennt man in der Ökonomie wohl "Mehrwert".

;-)

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https://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix#Explizite_Formeln bei 4.2.2 Explizite Formeln

Falls du Matrixmultiplikation noch nicht lernen musst / willst. Es gibt im Link auch (hoffentlich abschreckende) Formeln.

Dann doch besser auch die andern Methoden und die Matrix-Multiplikation anschauen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination#Finding_the_inverse_of_a_matrix ist das Einfachste. Das darfst du wohl nur nutzen, wenn ihr es behandelt habt.