Sei R := ℤ/5. Bestimmen Sie q(x), r(x)∈R[x]

Question

Sei \( R:=\mathbb{Z} / 5 . \) Bestimmen Sie \( q(x), r(x) \in R[x] \) mit

$$ \begin{aligned} x^{5}+\overline{4} x^{4}+\overline{2} x^{3}+\overline{3} x^{2}+\overline{2} x+\overline{4} &=q(x) \cdot\left(\overline{2} x^{2}+x-\overline{3}\right)+r(x) \\ \text { mit } r(x)=\overline{0} & \text { oder Grad } r(x)<2 \end{aligned} $$

Answer 1

Das ist einfach nur Polynomdivision in Z5. Gibt

(x^5+4x^4+2x^3+3x^2+2x+4):(2x^2+x-3)=3x^2+3x^2 +4x + 4 
x^5 +3x^4+ x^3
---------------------
          x^4  + x^3 + 3x^2
          x^4  +3x^3 +  x^2
          ------------------------
                   3x^3 + 2x^2 +2x
                   3x3  +4x^2  +3x
                   ---------------------
                              3x^2 + 4x  + 4
                              3x^2  +4x  - 2
                              --------------------
                                                   1

also q(x)=3x^2+3x^2 +4x + 4  und r(x)=1 .

Aber rechne mal in Ruhe nach.