Beweis endliche und periodische Dezimalzahlen

Question

a) Zeigen Sie: Wenn der Nenner b eines Bruches a/b ein Produkt aus Potenzen der Primzahlen 2 und 5 ist, das heißt, wenn b=2hochn⋅5hochm gilt, dann ist die rationale Zahl a/b ein endlicher Dezimalbruch. (BEWEIS)

b) Formulieren Sie, wie man am Nenner eines Bruches erkennen kann, ob der zugehörige Dezimalbruch abbrechend oder periodisch ist.

c) Zeigen Sie, dass Ihre Aussage aus b) stimmt.(BEWEIS)



Meine Ideen:

a) b=2 hoch 2 * 5 hoch 2 = 4 * 25 = 100      a= 10

a/b = 10/100 = 1/10

a/10hochs  = Form von abbrechenden Dezimalzahlen -> der Nennern muss Teiler der 10ner Potenz sein -> PFZ darf nur die PZ 2 oder 5 enthalten -> aber das ist noch kein Beweis...

b) a/b hat eine abbrechende Dezimaldarstellung, wenn der Nenner b die Zehnerpotenz teielt - das ist genau dann der fall, wenn PFZ des Nenners b=2n⋅5m  ist

a/b hat eine Periodische Dezimaldrstellung, wenn der Nenner b zur Basis 10 teilerfremd ist.

c) Bsp. 1/3 = 0,33333... und 3 ist teilerfremd zu zur Basis 10 -> hier finde ich auch keinen Beweis...

Comments

Hallo,

ich wollte fragen ob du evtl. noch die Lösung für diese Aufgabe hast und diese hier hochstellen könntest.

Das wäre total lieb.

Vielen Dank im Voraus

Liebe Grüße

Answer 1

Ich weiß nicht was ihr zu abbrechenden Dezimalzahlen kennt. Eventuell kann man das so machen

a/(2^n * 5^m) = a * 1/2^n * 1/5^m = a * 0.5^n * 0.2^m

Das Produkt endlicher Dezimalzahlen ist wieder eine endliche Dezimalzahl.

oder so

a/(2^n * 5^m) = a * 1/2^n * 1/5^m = a * (5/10)^n * (2/10)^m = a * 5^n * 2^m / 10^(n + m)

Eine ganze Zahl geteilt durch eine Zehnerpotenz ist eine endliche Dezimalzahl.

Comments

Vielen Dank!

Für mich war der zweite bestens etwas deutlicher!

Aber wie kam man Beweisen, dass eine Dezimalzahl periodisch ist....

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Enthält der Nenner einen Primfaktor ungleich 2 oder 5, kann man den Nenner nicht zu einer Zehnerpotenz erweitern, weil eine Zehnerpotenz nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält.

Answer 2

Wenn der Nenner b eines Bruches a/b ein Produkt aus Potenzen der Primzahlen 2 und 5 ist, das heißt, wenn b=2ⁿ⋅5^m gilt, dann ist die rationale Zahl a/b ein endlicher Dezimalbruch.

Zum Beweis brauchen wir den Hilfssatz: Die Dezimaldarstellung von Brüchen, deren Nenner eine Zehnerpotenz ist, bricht ab.

Wir unterscheiden die Fälle (1) n>m (2) m=n (3)n<m.

(1) Erweitern mit 2^n-m führt zu einem Bruch, auf den der Hilfssatz anwendbar ist.

(2) Der Hilfssatz ist unmittelbar anwendbar.

(3) Erweitern mit 5^m-n führt zu einem Bruch, auf den der Hilfssatz anwendbar ist.