Potenzreihe für arctan(x) aufstellen

Question

Hallo liebe Mathematiker,

ich soll eine Potenzreihe für die arctan-Funktion bestimmen. Dazu habe ich mich mit der Taylorreihe beschäftigt. Ich habe Schwierigkeiten bei den Ableitungen und beim Zusammensetzen der Taylorkomponenten. Besonders die Fakultät darin stört.

Es steht in der Aufgabenstellung nicht drin, dass wir die Taylorreihe nutzen sollen. Daher meine Frage, wie geht das mit der Taylorreihe oder gibt es eine andere Möglichkeit?

Danke für jede Hilfe

Iria

Comments

Eine ähnliche Frage gab es schon mal hier: https://www.mathelounge.de/135383/arctan-reihe-zeigen-sie-sie-fur-x-1-1.

Answer 1

Aloha :)

Die Summenformel der geometrischen Reihe lautet:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad;\quad |q|<1$$Mit \(q=-x^2\) erhalten wir daraus:$$\sum\limits_{n=0}^\infty(-x^2)^{n}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}=\frac{1}{1+x^2}\quad;\quad|x|<1$$Wir integrieren beide Seiten der Gleichung wie folgt:$$\int\limits_0^{x}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\tilde x^{2n}\right)d\tilde x=\int\limits_0^x\frac{1}{1+\tilde x^2}d\tilde x=\arctan(x)-\underbrace{\arctan(0)}_{=0}\quad;\quad|x|<1$$Solange wir uns im Konvergenzradius der unenedlichen Summe aufhalten, können wir unter der Summe integrieren. Damit haben wir dann:$$\arctan(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\quad;\quad|x|<1$$

Comments

Müsste es nicht \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\big(-x^2\big)^n\) heißen?

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Wie du möchtest, ist das gleiche ;)

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Wie du meinst.

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Spacko... ich danke dir!

Habe verstanden, was du meintest und den Fehler korrigiert ;)

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Danke für die ausführliche Herleitung!

Answer 2

Bilde die Taylorreihe für die Ableitung von arctan(x) (die Ableitung ist \( \frac{1}{1+x^2} \)) und integriere diese.

Hinweis: \( \frac{1}{1+x^2} \) lässt sich als \( \frac{1}{1-(-x^2)} \) schreiben und in dieser Form als Summe einer geometrischen Reihe mit q=-x² interpretieren.