Exponentielles Wachstum von Regenwald: Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

In einem Land gab es 1995 ca. 5170km² Regenwald, 2011 noch 3742 km². Man nimmt an, dass der Flächeninhalt exponentiell abnimmt. Wie groß war die Waldfläche im Jahr 1980.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie man hier ein Exponentialfunktion mit der Form: f(t) = c × a^t aufstellen kann.

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

Hallo,

Waldfläche zur Zeit t:   f(t) = c · a^t   ,  t in Jahren und f(t) in km²

Zuerst setzt man einen  Zeitnullpunkt  t=0  beliebig fest. Dabei nimmt man am besten einen Zeitpunkt, für den man die Fläche bereits kennt. Hier bietet sich t=0 im Jahr 1995  an.

→    f(0) =  c · a⁰  =  c = 5170     [ wegen a⁰ = 1 ]

→    f(t)  =  5170 · a^t

Im Jahr 2011 ist dann  t = 16    →   f(16)  =  5170 · a¹⁶ = 3742

5170 · a¹⁶ = 3742  | : 5170

a¹⁶  =  3742/5170  |  hoch 1/16    [ oder auf beiden Seiten  \( \sqrt[16]{...} \) ]

a  =  (3742/5170)^1/16  ≈  0,98

→  f(t)  =  5170 · 0,98^t    ist die gesuchte  Funktion für den Flächeninhalt. 

Im Jahr 1980 hat man den Zeitpunkt  t = -15   [ 15 Jahre vor t=0 in 1995 ]

→  f(-15) = 5170 · 0,98^-15  ≈  7000  [ km² ]

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Nachtrag: 

Statt 1995 hätte man auch 2011 für t=0 nehmen können, da man für diesen Zeitpunkt f(t) ebenfalls kennt.

Dann hätte man t = -16  für 1995  und t = -31 für 1980.

Mit t=0 in 1980 müsste man mehr rechnen! 

Gruß Wolfgang

Answer 2

a = \( \sqrt[16]{\frac{3742}{5170}} \) ≈ 0,98

Fläche(1980) ≈ 5170 / 0,98¹⁵ ≈ 7000

f = 5170 • 0,98^Jahr-1995