Aloha :)
Zur Herleitung der Logarithmus-Gesetze musst du nur wissen, dass die Logarithmus-Funktion die Umkehrung von der Exponentialfunktion ist, also \(e^{\ln x}=x\) gilt. Im Folgenden seien alle Variablen positiv.
$$e^{\ln(a\cdot b)}=a\cdot b=e^{\ln(a)}\cdot e^{\ln(b)}=e^{\ln(a)+\ln(b)}\quad\Rightarrow\quad\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)$$
$$e^{\ln(a:b)}=a:b=e^{\ln(a)}: e^{\ln(b)}=e^{\ln(a)-\ln(b)}\quad\Rightarrow\quad\ln(a: b)=\ln(a)-\ln(b)$$
$$e^{\ln\left(a^b\right)}=a^b=\left(e^{\ln a}\right)^b=e^{b\cdot\ln(a)}\quad\Rightarrow\quad\ln\left(a^b\right)=b\,\ln(a)$$
Jetzt kannst du auch noch das Umrechnen in eine beliebige Basis herleiten:
$$\left.b^{\log_b(x)}=x=e^{\ln(x)}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(b^{\log_b(x)}\right)=\ln(x)\quad\right.$$$$\left.\log_b(x)\ln(b)=\ln(x)\quad\right|\;:\ln(b)$$$$\left.\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}\quad\right.$$
