Approximationsfehler berechnen

Question

Aufgabe:

ln(1+x)

Polynom 2ten Grades

Entwicklungspunkt x0 = 0

Approximationsfehler Rn = |x| < \( \frac{1}{2} \)

Problem/Ansatz:

 

 Bisher habe ich ln(1+x) in ein Polynom umwandeln können nur habe ich nie verstanden wie ich den Fehler abschätzen oder berechnen soll. Ich hab es versucht mit Extremstellen Berechnung und Monotonie, verstehe leider nicht wie mir das weiter helfen soll

Comments

Die letzte Zeile ergibt keinen Sinn. Wie heißt die Aufgabe wirklich?

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Tut mir leid der automatische Bild zu Text Teil sollte eigentlich nicht mit drinne sein

"Berechnen Sie für f(x) = ln(1+x) die Taylorpolynome 2. Und 5. Grades mit Entwicklungspunkt x0 = 0. Schätzen Sie den Approximationsfehler für |x| < \( \frac{1}{2} \) ab und vergleichen sie diese miteinander"

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Fortsetzung von

https://www.mathelounge.de/685271/logarithmus-taylorreihe-mit-ln-1-x

Answer 1

f⁽³⁾_(x) = 2/(1+x)³

R₂(x) = \( \frac{2}{(1+ξ)^{3}*3!} \) \( x^{3} \)

 I R₂(x≤0,5) I ≤ I R₂(0,5) I ≤ \( \frac{2}{(1+0)^{3}*3!} \) \( 0,5^{3} \) = 1/24

f⁽⁶⁾_(x) = - 120/(1+x)⁶

R₅(x) = - \( \frac{120}{(1+ξ)^{6}*6!} \) \( x^{6} \)

 I R₅(x≤0,5) I ≤ I R₅(0,5) I ≤ \( \frac{2}{(1+0)^{6}*6!} \) \( 0,5^{6} \) = 1/384

Comments

Vielen Dank!

Würde es dir etwas ausmachen mir die einzelnen Schritte zu erklären?

z.B. Wieso setzen wir für x ξ ein und warum das mal 3

Weil ich bin noch hier

\( \frac{2* (ξ)}{(1+x)³} \ \) * x³

da die Formel

Rn(x) = \( \frac {|f^{n+1}|}{n+1!} \)  * (x-x0)\( ^{n+1} \)

lautet

Korrektion

hab  das '!' bei 3! in der 2ten zeile von dir übersehen

Ok ich verstehe jetzt was du gemacht hast, aber warum ersetzen wir das erste x mit ξ und das andere mit 0,5 (\( \frac{1}{2} \) )

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und in der 3ten zeile wird ξ zu x0?

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Das Restglied nach Lagrange R2 heißt so, wie es da steht, mit x und ξ.

Wenn du x vergrößerst. vergrößert sich R2, also wird R2 nach oben abgeschätzt, im extremsten Fall x=0,5.

Wenn du ξ verkleinerst, vergrößert sich R2, also wird R2 nach oben abgeschätzt, im extremsten Fall ξ =0.

R₅(x≤0,5) ergänzt.

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Mein letzter Kommentar hat 4 Zeilen. Welche Zeile ist unklar?

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Müsste die 6te Ableitung nicht Negativ sein?

Oder ist das vorzeichen egal, da sich in der Formel für Rn Betragsstriche befinden

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Rn hat eigentlich keine Betragsstiche, aber IRnI muss nach oben abgeschätzt werden.

Wegen dem Minus in der 6. Abl. habe ich überall die Betragsstriche eingefügt.