Linienintegral ohne Integralsätze

Question

Wir haben folgende Aufgabe bekommen und sollen diese OHNE Integralsätze lösen. Mit Integralsätzen kommen wir auf die Lösung: $\frac{3}{4} π$

Die Aufgabe lautet:
Berechnen Sie die das folgende Linienintegral:

$\int\limits_{C}^{}\textbf{F} d \textbf{S}$   mit   $\textbf{F}=\begin{pmatrix} x-2y^2z\\x^3-z^2\\x^2+y^2 \end{pmatrix}$

wobei die Kurve C durch den Schnitt der beiden Flächen $z^2=x^2+y^2$ und $z=\frac{1}{x^2+y^2}$

Vielen Dank im Vorraus. LG

Answer 1

Aloha :)

Wir brauchen zuerst eine vernünftige Parametrisierung des Weges $C$:$$x^2+y^2=z^2=\frac{1}{(x^2+y^2)^2}\quad\Leftrightarrow\quad(x^2+y^2)^3=1\quad\Leftrightarrow\quad x^2+y^2=1$$$C$ ist also ein Kreis mit Radius $1$ parallel zur $xy$-Ebene auf der Höhe $z=\frac{1}{x^2+y^2}=1$. Eine mögliche Parametrisierung in Polarkoordinaten lautet:$$C:\;\vec r(\varphi)=\left(\begin{array}{c}\cos\varphi\\\sin\varphi\\1\end{array}\right)\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Als Integral erhalten wir:

$$I=\int\limits_C\vec F\,d\vec S=\int\limits_0^{2\pi}\vec F\,\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\left(\begin{array}{c}\cos\varphi-2\sin^2\varphi\\\cos^3\varphi-1\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{array}\right)d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\left(-\sin\varphi\cos\varphi+2\sin^3\varphi+\cos^4\varphi-\cos\varphi\right)d\varphi=\cdots=\frac{3}{4}\pi$$Ich habe mir gespart, die Rechnung hier zu tippen, schließlich möchte ich euch die Freude am Ausrechnen nicht nehmen ;) Der einzige nicht-verschwindende Beitrag ist das Integral über $\cos^4\varphi$.

Comments

Wow! Vielen Dank! Ist für mich gut nachvollziehbar und das noch dazu in Rekordzeit. Einfach Spitze!