Abbildungsmatrix durch Basiswechsel bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix C, sowie das charakteristische Polynom dazu.

b) Geben Sie eine Basis B des R^3 aus Eigenvektoren zu C an.

c) Seien f : ℝ³ —> ℝ³ die lineare Abbildungsmatrix mit A_f = C. Bestimmen Sie durch Basiswechsel die Abbildungsmatrix A_f,B.

Hinweis: Aufg. c erfordert keine Rechnung!

Problem/Ansatz:

Also Aufgabe b) ist kein Problem, allerdings habe ich mit Abbildungsmatrizen noch nicht so richtig den Durchblick. Könnte mir jemand erklären, wie c) funktioniert und nach welcher Regel man das rechnet?

Außerdem hätte ich noch eine Frage zur Berechnung von Eigenvektoren. Bisher rechne ich immer (C - lamda * E) * x(Vektor) = 0(Vektor). Das nimmt aber in Klauseen viel Zeit in Anspruch (bei mir zumindest :D). Gibt es da eine möglichkeit, die Eigenvektoren schneller zu erkennen? Irgendeine Regel, wie bei Eigenwerten in einer Dreiecksmatrix?

Schon mal danke im Voraus!

Comments

Aloha :)

Könntest du vielleicht dein konkretes Beispiel nennen? Dann kann man die Lösung anhand dessen erarbeiten.

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@Jan: https://www.mathelounge.de/642869/matrizen-fur-koordinatenwechsel-angeben hast du schon gesehen?

Studiere danach mal https://www.mathelounge.de/685291/basis-bezuglich-abbildungsmatrix-bestimmen genau und vergleiche danach mit deiner Aufgabe.

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Ja, klar. In der Aufgabe steht:

Die Matrix C ist gegeben durch:

C=

 ( -7  8  -8

, -8  9  -8 ,

 4  -4  5  )

Ist eine 3 x 3 Matrix :)  

Das charakteristische Polynom ist gegeben mit:

P(lamda) = ( 1 - lamda)² ( 5 - lamda)

 Also mit den Eigenwerte: lamda_1,2 = 1 und lamda ₃ = 5

Das sind also die geg. Werte. Die Eigenvektoren und damit die Basis B habe ich noch nicht berechnet, aber das ist ja auch nicht so das Problem :)