Diskussion von Polynomfunktionen: y= 1/4 • x^{3} + 3/2 • x^{2 }+ 13/4 • x + 3 Intervall: [-4,1]

Question

Aufgabe:

Diskutiere die Polynomfunktion 3. Grades

y= 1/4 • x³ + 3/2 • x² + 13/4 • x + 3

Intervall: [-4,1]

(Berechne die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkt, Krümmungsverhalten & Monotonie)

Comments

Bei der Berechnung welcher Werte bzw. Punkte hast du Probleme?

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Ich habe Schwierigkeiten die Extremwerte zu berechnen. Das Umstellen nach dem x fällt mir etwas schwer in diesem Beispiel.

Answer 1

Nullstellen,

x₁=-3 geraten. Polymomdivision hat das Ergebnis x²/4+3x/4+1 ohne reelle Nullstellen.

Extremwerte,

f'(x)=3x2/4+3x+13/4 ohne reelle Nullstellen

Wendepunkt,

f ''(x)=3x/2+3 Nullstelle x_w=-2

(-2|1/2) ist Wendepunkt

 Krümmungsverhalten & Monotonie ablesen und kurz begründen.

Comments

Vielen Dank Roland!

Answer 2

Keine Sorge, du wirst auch kein Extremwert finden. Die Gleichung \(f'(x_E)=0\) hat keine Lösung.

Comments

du wirst auch kein Extremwert finden
f '(x) = 0  hat keine Lösung

Deshalb hat die Funktion ihre Extremstellen an den Randstellen von D_f = [ -4 ; 1 ].

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Was ist mit dem Intervall gemeint?

Lässt sich die Kurve nicht in ganz R diskutieren?

EDIT: Einige scheinen das als Definitionsbereich von f zu interpretieren.

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Vielen Dank ! Ich war schon am verzweifeln!

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Wolfang hat recht, ich habe mich versehen. Die Funktion nimmt an den Rändern ihr absolutes Maximum/Minimum an. Das habe ich letztes Jahr sogar beweisen müssen (shame on me):

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_vom_Minimum_und_Maximum

"Jede auf einem kompakten Intervall \([a,b]\subset \mathbb {R} \;(a\leq b)\) definierte stetige Funktion ist dort beschränkt und nimmt dort ein Maximum und ein Minimum an."

Lässt sich die Kurve nicht in ganz R diskutieren?

Es soll aber \(f: [-4,1]\to [-2,8], x\mapsto f(x)=\frac{1}{4}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+\frac{13}{4}x+3\) betrachtet werden.

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Du (nicht nur du) interpretierst das Intervall als Definitionsbereich von f. Das ist eine  Annahme, steht / stand mE nicht in der Frage.

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@Lu

Hast du irgendeine Idee, was die Angabe des Intervalls sonst für eine Bedeutung haben sollte?

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So was muss in der Frage stehen. Bei Polynomen braucht man D nicht einzuschränken.

W_f Wertebereich? Bereich in dem man die Umkehrfunktion bestimmen soll? Da gibt es viele Möglichkeiten. Hier war "logischerweise" der Definitonsbereich gemeint: https://www.mathelounge.de/426221/intervall-gleich-wertebereich Grund: Trigonometrische Funktionen sind periodisch.