Gerade und Ebene und Matrix

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebene E₀ : x-y=0, der Punkt R(1/4/2) und die Gerade g:x = \( \begin{pmatrix} 1\\4\\2\end{pmatrix} \) +r \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \)

Aufgaben

a) Bescheiben Sie die Lagebeziehung zwischen der Ebene E_o und der z-Achse.

Gegeben sind die Gerade k:x= r *  \( \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} \) sowie die Matrix M=

0	1	0
1	0	0
0	0	1

(Weis nicht wie man die Matrix hierschreibt :) )

b) Begrüden Sie, dass M eine Spiegelung an der Ebene E₀ beschreibt.

c) Zeigen Sie, dass die Gerade k bei der Spiegelung an E_{0 auf sich selbst abgebildet wird.}

Problem/Ansatz:

Weis leider nicht wie man vorgeht?

Comments

zu a) siehe Geoknecht3D.

Answer 1

Hallo Pascal,

komisch, dass Dir noch niemand geantwortet hat. Du hast wohl in der Vergangenheit zu wenig Feedback gegeben ;-)

a) Beschreiben Sie die Lagebeziehung zwischen der Ebene \(E_0\) und der z-Achse.

Wenn man die Ebene \(E_0\) in Normalenform schreibt .. $$E_0: \space x-y=0 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 0\end{pmatrix} \vec x = 0$$... so sieht man, dass der Normalenvektor senkrecht auf \(e_z\) bzw. der Richtung der Z-Achse steht. Und da der Ursprung ein Punkt in \(E_0\) ist, liegt die Z-Achse in \(E_0\).

b) Begründen Sie, dass \(M\) eine Spiegelung an der Ebene \(E_0\) beschreibt.

Die Matrix \(M\) ist $$M = \begin{pmatrix} 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}$$Nehme einen beliebigen Punkt \(\vec p\) und multipliziere ihn mit \(M\) um das Bild \(\vec p'\) zu bekommen$$\vec p' = M \cdot \vec p = \begin{pmatrix} 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y\\ x\\ z \end{pmatrix} $$Nun ist die Differenz \(\vec p' - \vec p\)$$\vec p' - \vec p = \begin{pmatrix} y\\ x\\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y-x\\ x-y\\ 0 \end{pmatrix} = (y-x)\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} $$ein Vielfaches des Normalenvektors von \(E_0\). Und der Mittelpunkt \(\vec m\) der Strecke \(\vec p \vec p'\)$$\vec m = \frac 12(\vec p' + \vec p) = \frac 12 \left( \begin{pmatrix} y\\ x\\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}\right) = \frac 12 \begin{pmatrix} x+y\\ x+y\\ 2z \end{pmatrix}$$liegt in der Ebene \(E_0\) da $$ \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 0\end{pmatrix} \vec m = \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 0\end{pmatrix} \cdot \frac 12 \begin{pmatrix} x+y\\ x+y\\ 2z \end{pmatrix} = 0$$folglich beschreibt \(M\) eine Spiegelung an \(E_0\).

c) Zeigen Sie, dass die Gerade \(k\) bei der Spiegelung an \(E_0\) auf sich selbst abgebildet wird.

Die Gerade \(k\) und ihre Abbildung \(k'\) sind $$k: \space \vec x = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 0\end{pmatrix} \\ k': \space \vec x = r \cdot M \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 0\end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}$$Der neue Richtungsvektor ist kollinear zum Richtungsvektor von \(k\) (Faktor \(-1\)) und beide Geraden gehen durch den Ursprung (Bem.: \(\vec 0 \in k,\, k'\)). Somit ist \(k=k'\).

Tipp: mache Dir Skizzen oder trage die Koordinaten in Geoknecht3D oder einem ähnlichen Tool ein. Eine anschauliche Darstellung hilft bei Aufgaben dieser Art ungemein.

Gruß Werner