Rechtwinkliges Dreieck und orthogonale Gerade

Question

Aufgabe:

Gegeben sind eine Gerade g und 2 nicht auf g liegende Punkte A und B.

Gesucht ist:

1. Ein Geradenpunkt C derart, dass das Dreieck ABC bei c rechtwinklig ist,

2. Eine Gerade h, welche auf dem Dreieck ABC senkrecht steht und c enthält

a)  g:x= (2/2/0) +r• (0/0/2)

A (4/4/0) B(1/1/0)

b) g:x= (0/2/0) +r• (1/1/1)

A(1/2/1) B(-1/3/7)
Problem/Ansatz:

Ich hab nur einen Ansatz zur 1. Aufgabe

Vektor BC• AC=0

( (2/2/0) +r•(0/0/2) -(1/1/0) ) • ( (2/2/0)+r•(0/0/2) - (4/4/0) ) =0

Aufgelöst :

(1/1/0)•(-2/-2/0) +r•(0/0/2)•(-2/-2/0)+ (1/1/0)•r•(0/0/2) +r•(0/0/2)•r•(0/0/2)=0

4r^2+4r-4 = 0 durch 4 teilen und pq Formel

r1=0,618  r2= -1,618

R1 in g

Ergibt (2/2/1,236)

Ist das richtig so? Und wie funktioniert die 2?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Vermutlich bist du dir deswegen nicht sicher, weil die Ergebnisse keine ganzen Zahlen sind. Da die Aufgaben immer konstruiert sind, ist das tatsächlich ein Grund, noch mal zu kontrollieren. Hast du das getan? Mit deinem Punkt C, sind dann die Vektoren [AC] und [BC] tatsächlich orthogonal? Nein? Dann suche den Fehler. Der Ansatz ist ok, beim Ausmultiplizieren passt es aber nicht. Die Ergebnisse müssten (bitte nachrechnen) r = 1 und r = -1 sein. Prüf das dann bitte auch noch mal. Zu b): Senkrecht zum Dreieck heißt senkrecht zu der Ebene, in der A, B und C liegen. Für diese Ebene kannst du eine Gleichung aufstellen, du benötigst einen Normalenvektor. Da wirst du im Unterricht Methoden gelernt haben. Eine Gleichung für eine Gerade h kannst du einfach aufstellen, indem du den Ortsvektor von C nimmst und dann den gefundenen Normalenvektor als Richtungsvektor.

Comments

Ok vielen Dank schonmal, wie man die 2 berechnet,habe ich jetzt verstanden.

Ist es denn bei der 1. richtig , dass ich den Punkt B bzw. A nur von dem Stützvektor abgezogen habe? Glaube, daher könnte der Fehler kommen

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Der Fehler ist erst nach dem Auflösen. Statt 4r muss es 0r sein. Die beiden Skalarprodukte mit r beim Ausmultiplizieren sind 0. Aber da fängt es auch schon an, die Schreibweise ist sehr umständlich. Schreibe doch einfach die Richtungsvektoren als (1|1|2r)^T und (-2|-2|2r)^T (das T für transponiert, d.h. dass du das als Spaltenvektoren schreiben sollst) und nicht umständlich als Summe. Dann ist es viel einfacher.

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Ok jetzt habe ich für r auch 1 und -1 raus. Vielen Dank für die schnelle Hilfe!!

Answer 2

Hallo Sandra,

Und wie funktioniert die 2?

genauso wie die 1. Die beiden Punkte \(C_1\) und \(C_2\) sind bei Aufgabe 2$$C_1 = \begin{pmatrix}1\\ 3\\ 1\end{pmatrix}, \quad C_2 = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 2\end{pmatrix}$$Gebe Deine Ergebnisse im Geoknecht3D ein, dann siehst Du, ob sie auch sinnvoll sind.

klick auf das Bild und rotiere die Szene mit der Maus, dann bekommst Du einen räumlichen Eindruck.