Wieso steht da noch 2^{-1}?

Question

Aufgabe:

Aufgabe 19
Berechne \( A^{25} \) für \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right) \)
Lösung Eine Zerlegung von \( A \) in \( T^{-1}, D \) und \( T \), sodaß \( A=T D T^{-1} \) eignet sich gut zum Potenzieren, da z.B.
\( A^{3}=\left(T D T^{-1}\right)^{3}=T D\left(T^{-1} T\right) D\left(T^{-1} T\right) D T^{-1}=T D^{3} T^{-1} \)
Gibt es so eine Zerlegung? D.h. hat \( A \) Eigenwerte und sind die Dimensionen der Eigenräume groß genug?
\( \chi_{A}(t)=\left|\begin{array}{cc} 1-t & 2 \\ 2 & 1-t \end{array}\right|=(1-t)^{2}-4=(t+1)(t-3) \)
Da es \( n=2 \) verschiedene Eigenwerte gibt, ist die Matrix automatisch diagonalisierbar. Was sind die Basisvektoren der jeweiligen Eigenräume?
\( \begin{array}{l} t=-1: \quad\left(\begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \Longrightarrow \operatorname{Eig}_{A}(-1)=\left\{s\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right) \mid s \in K\right\} . \\ t=3: \quad\left(\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{array}\right) \rightsquigarrow\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \Longrightarrow \operatorname{Eig}_{A}(3)=\left\{s\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \mid s \in K\right\} . \end{array} \)
Die Zerlegung von \( A \) ist daher
\( A=2^{-1}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \)
\( A^{25}=2^{-1}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 3^{25} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=2^{-1}\left(\begin{array}{cc} 3^{25}-1 & 3^{25}+1 \\ 3^{25}+1 & 3^{25}-1 \end{array}\right) . \)

Z.B. sei A eine nxn Matrix und ich möchte A^x berechnen.

Hier in dem Beispiel wird A^25 gerechnet. Doch wieso steht am Ende unten noch 2^-1 vor dem Term, wobei oben das gar nicht definiert wurde. A steht ja nur A^x = T * D^x * T^-1 . (Rot eingerahmt)

Answer 1

2^{-1} = (1/2)

Man hat hier nur die 1/2 ausgeklammert damit die Matrix T^{-1} mit ganzen Zahlen angegeben werden kann. Normal wären das alles Brüche.

T = [1,1;-1,1]

T^{-1} = [1/2, - 1/2; 1/2, 1/2] = 1/2·[1, -1; 1, 1]

Answer 2

Die vorletzte Zeile wäre ohne das 1/2=2^-1 schlicht falsch. Rechne mal nach.

 

Es ist hier $$T= 2^{-1} \begin{pmatrix} 1 &1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$