Hallo Community,
Mit einem weiteren Problem melde ich mich die Woche nochmal bzw. heute nochmal undzwar komme ich bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:
Aufgabe:
Für \( x \in \mathbb{R} \) sei \( f(x)=e^{-|x|} \cos (x) . \) Bestimmen Sie
(a) das (globale) Maximum von \( f \) auf \( \mathbb{R} \)
(b) alle lokalen Extremalstellen von \( f \) und deren Typ,
(c) das (globale) Minimum von \( f \) auf \( \mathbb{R} \).
Tip zur Vereinfachung der Rechnung in Teil (b): Finden Sie \( A \) und \( \cos (x)+\sin (x)=A \sin (x+\theta) \)
Problem/Ansatz:
Leider weiß ich nicht wie ich die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen soll die erste Ableitung ist:
\( f(x)=e^{-|x|} \cos (x) \)
\( f^{\prime}(x)=-\frac{x}{|x|} e^{-|x|} \cos (x)+(-\sin (x)) e^{-|x|}=e^{-|x|}\left(-\frac{x}{|x|} \cos (x)-\sin (x)\right) \)
Ich wende zunächst die Regel ein Produkt wird 0 wenn einer seiner Faktoren 0 wird. Heißt die erste Nullstelle habe ich schonmal safe bei 0 aber der Rest ist recht knifflig wegen dem Betrag und dem cosinus und sinus. Wie bekomme ich die x/|x| weg? Könnt ihr mir Ansätze geben wie ich da voran komme? Am besten Regeln die ich vlt noch nicht kennen sollte die speziell zu dieser Aufgabe ist ^^
