Invertierenn von Matrizen

Question

Berchnen Sie, falls existent, die Inverse von\[A=\left(\begin{array}{llll}{1} & {\lambda} & {0} & {0} \\{0} & {1} & {\lambda} & {0} \\{0} & {0} & {1} & {\lambda} \\{0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{llll}{1} & {0} & {0} & {0} \\{0} & {1} & {0} & {0} \\{0} & {0} & {1} & {0} \\{a} & {b} & {c} & {1}\end{array}\right)\]wobei \( \lambda, a, b, c \in \mathbb{R} \) Parameter sind.

Comments

Tipp: Mit \(X:=A-I_4\) ist \(A^{-1}=(I_4+X)^{-1}=X^0-X^1+X^2-X^3\).

Answer 1

Aloha :)

Schreibe die Einheitsmatrix der gleichen Größe neben die zu invertierende Matrix. Dann bringst du die zu invertierende Matrix durch elementare Umformungen auf die Form der Einheitsmatrix und führst die dazu notwendigen Schritte auch an der Einheitsmatrix druch. Am Ende ist dann aus der ehemaligen Einheitsmatrix die Inverse geworden.

$$\left(\begin{array}{c}1 & \lambda & 0 & 0 \\0 & 1 & \lambda & 0 \\0 & 0 & 1 & \lambda\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\begin{array}{c}{}\\{}\\{-\lambda\cdot Z_4}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}1 & \lambda & 0 & 0 \\0 & 1 & \lambda & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & -\lambda\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\begin{array}{c}{}\\{-\lambda\cdot Z_3}\\{}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}1 & \lambda & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & -\lambda & \lambda^2 \\0 & 0 & 1 & -\lambda\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\begin{array}{c}{-\lambda\cdot Z_2}\\{}\\{}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}1 &0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & -\lambda & \lambda^2 & -\lambda^3 \\0 & 1 & -\lambda & \lambda^2 \\0 & 0 & 1 & -\lambda\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\begin{array}{c}{}\\{}\\{}\\{}\end{array}$$Die zweite geht sehr schnell:$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\a & b & c & 1\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\begin{array}{c}{}\\{}\\{}\\{-a\cdot Z_1-b\cdot Z_2+c\cdot Z_3}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\-a & -b & -c & 1\end{array}\right)\quad\begin{array}{c}{}\\{}\\{}\\{}\end{array}$$

Answer 2

Hallo

 einfach das LGS A*A-1=E  lösen, kann man für alle Spalten von E gleichzeitig.

und die Matrix ist ja schon auf Diagonalform.

Gruß lul