Kann man hier auch ohne Basiswechselsatz vorgehen?

Question

Huhu, ich bin gerade an dieser Aufgabe dran und frage mich, ob ich die b auch ohne den Basiswechselsatz machen kann, um direkt eine Darstellung bezüglicher dieser beiden Basen zubekommen:

Es sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gegeben durch \( f(x, y, z)= \)
Weiter seien die Basen \( B=\left(\left(\begin{array}{c}{1} \\ {0} \\ {-1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)\right), B^{\prime}=\left(\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{1} \\ {0} \\ {-1}\end{array}\right)\right) \) von \( \mathbb{R}^{3} \) und
die Basen \( C=\left(\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right)\right) \) und \( C^{\prime}=\left(\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-1}\end{array}\right)\right) \) von \( \mathbb{R}^{2} \) gegeben.
(a) Berechnen Sie die Matrixdarstellung \( c[f]_{B} \)
(b) Berechnen Sie die Matrixdarstellung \( C^{\prime}[f]_{B^{\prime}} \) mit dem Basiswechselsatz. Welche Basiswechselmatrizen werden dafür benötig

Ich habe Probleme, das ganze auf die richtige Dimension zu bekommen, denn wenn ich die Bilder der Vektoren auf B`anwende und dann bezüglich C‘ darstellen will, bekomme ich ja 2x2 Matrizen anstelle einzelner Vektoren...

Könnt ihr mir vielleicht sagen, warum genau das nicht funktioniert (und wenn doch, wie genau?) Und vielleicht noch warum es (evt.) absehbar war, dass es nicht funktionieren kann?

Comments

Die Funktionsbeschreibung ist nicht besonders aussagekräftig?

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Oh man, danke für den Hinweis...XD War zu voreilig. Meinte: f(x,y,z)=(x+y,2z-x)

Answer 1

Aloha :)

In Matrix-Darstellung lautet die Funktion:$$f(x,y,z)=\binom{x+y}{2z-x}=\binom{1}{-1}x+\binom{1}{0}y+\binom{0}{2}z=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\-1 & 0 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$$Wir wenden die Funktion auf die Vektoren der Basis \(B=(\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3)\) an und drücken das Ergebnis in Vektoren der Basis \(C=(\vec c_1,\vec c_2)\) aus:

$$f(\vec b_1)=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\-1 & 0 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)=\binom{1}{-3}=\binom{0}{1}\cdot(-3)+\binom{1}{0}\cdot1=\binom{-3}{1}_C$$$$f(\vec b_2)=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\-1 & 0 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\binom{2}{1}=\binom{0}{1}\cdot1+\binom{1}{0}\cdot2=\binom{1}{2}_C$$$$f(\vec b_2)=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\-1 & 0 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)=\binom{1}{-1}=\binom{0}{1}\cdot(-1)+\binom{1}{0}\cdot1=\binom{-1}{1}_C$$$$\Rightarrow\quad{_C[f]_B}=\left(\begin{array}{c}-3 & 1 & -1\\1 & 2 & 1\end{array}\right)$$Jetzt sollst du die Basen wechseln:

$${_{C\,'}}[f]_{B\,'}={_{C\,'}}id_{\,C}\cdot {_C[f]_B}\cdot{_B\,}id_{\,B\,'}$$$$={_{C\,'}}id_{E}\cdot{_E}id_{\,C}\cdot {_C[f]_B}\cdot{_B\,}id_{\,E}\cdot{_E\,}id_{\,B\,'}$$$$=\left({_E}id_{C\,'}\right)^{-1}\cdot{_E}id_{\,C}\cdot {_C[f]_B}\cdot\left({_E\,}id_{\,B}\right)^{-1}\cdot{_E\,}id_{\,B\,'}$$$$=\left(\begin{array}{c}1 & 1\\1 & -1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}0 & 1\\1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-3 & 1 & -1\\1 & 2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 0\\-1 & 1 & 0\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\end{array}\right)$$$$=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 1\\1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-3 & 1 & -1\\1 & 2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 1 & -1\\0 & 1 & 0\\1 & -2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\end{array}\right)$$$$=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-3 & 1 & -1\\1 & 2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0\end{array}\right)$$$$=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1 & -1 & -3\\2 & 1 & 1\end{array}\right)$$$$=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} & 0 & -1\\\frac{3}{2} & 1 & 2\end{array}\right)$$

Comments

Hallo Tschakabumba,

ich bin zwar nicht der Fragensteller, aber wäre es für das händische Lösen nicht angenehmer, bei

\( _{C‘}[f]_{B‘} = _{C‘}id_{C} \, \cdot \,_C[f]_B \, \cdot \, _{B}id_{B‘}  \)

einfach

\(_{C‘}id_{C}\) und \( _{B}id_{B‘} \) auszurechen, da man dann nicht soviele Matrixmultipliaktionen hat?

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Aloha guest321 :)

Das hätte man natürlich auch machen können, ist im Ergebnis dasselbe.

Ich war zu faul zum Denken. Die Transformationsmatrizen in Richtung der kanonischen Basis stehen ja quasi schon in der Aufgabenstellung. Die konnte ich schnell nach Excel copy-pasten und dann dort die Matrixrechnungen durchführen.

Wichtig war mir, dass Gurkeneintopf klar wird, wie man sich von einer Basis zur anderen "bewegen" kann.

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Vielen vielen Dank, dass wurde auf jeden Fall klar:)

Answer 2

Hallo

 die matrix, die dein unbekanntes f darstellt hat 3 Spalten und 2 Reihen! ist also nicht 2 mal 2.

und in b) ist ausdrücklich nach der Basiswechelmatrix gefragt.  a geht ohne.

Gruß lul