Extrema, Tangente, Limesverhalten

Question

Aufgabe:

Die Funktion f(x) = -x^4 + 4x^3  ist gegeben

Wie berechnet man

a) Die Extrempunkte (Maximum, Minimum, Sattelpunkt) und entscheiden ob die Extrema absolut oder relativ sind

b) bestimmt man das Limesverhalten

c) die Tangente an f im Punkt P(1/y)
Problem :

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=-x^4+4x^3$$$$f'(x)=-4x^3+12x^2$$$$f''(x)=-12x^2+24x$$$$f'''(x)=-24x+24$$

zu a)

Kandidaten für Extrempunkte sind dort, wo die erste Ableitung verschwindet:$$0\stackrel{!}{=}f'(x)=-4x^3+12x^2=-4x^2(x-3)\quad\Rightarrow\quad x_1=0\;;\;x_2=3$$Wir prüfen, ob es sich tatsächlich um Extrema handelt:

$$x_1=0\quad\Rightarrow\quad f''(x_1)=0\quad;\quad f'''(x_1)=24\ne0\quad\Rightarrow\quad\text{Sattelpunkt}$$Die erste von Null verschiedene Ableitung ist die dritte, also eine ungerade. Daher liegt dort keine Extremum, sondern eine Sattelpunkt vor.

$$x_2=3\quad\Rightarrow\quad f''(x_2)=-36<0\quad\Rightarrow\quad\text{Maximum}$$Bei \(x=0\) liegt ein Sattelpunkt vor, bei \(x=3\) liegt das einzige und damit das globale Maximum vor.

zu b)

$$f(x)=-x^4+4x^3=x^3\cdot(4-x)$$$$\Rightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\quad;\quad\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$$

zu c)

$$t_1(x)=f\left(1\right)+f'\left(1\right)\left(x-1\right)=3+8(x-1)=8x-5$$

~plot~ -x^4+4x^3 ; [[-2|5|-10|30]] ; 8x-5 ~plot~

Comments

Ich verstehe c) noch nicht ganz... warum 8x - 5 ?? Und was genau ist das dann?

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Zur Bestimmnung einer Geradengleichung benötigst du entweder 2 Punkte oder einen Punkt und die Steigung. Da eine Tangente eine Kurve an einem bestimmten Punkt "berührt", haben wir den zweiten Fall vorliegen. Wir kennen den Berührpunkt \((x_0,y_0)=(x_0|f(x_0))\) und die Steigung in diesem Punkt \(m=f'(x_0)\). In die allgemene Geradengleichung$$y=m\cdot x+b$$setzen wir nun zunächst die Steigung ein$$y=f'(x_0)\cdot x+b$$und anschließend die \(x\)- und \(y\)-Koordinate des Punktes, um \(b\) zu bestimmen:$$f(x_0)=f'(x_0)\cdot x_0+b\quad\Leftrightarrow\quad b=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0$$Setzen wir dieses \(b\) oben ein, finden wir:$$y=f'(x_0)\cdot x+\left[f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0\right]$$$$y=f'(x_0)\cdot x+f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0$$$$y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot x-f'(x_0)\cdot x_0$$$$\underline{y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)}$$Das ist die allgemeine Tangentengleichung.

In unserem Fall hier ist der Berührpunkt \((x_0|f(x_0))=(1|3))\) und die Steigung \(m=f'(1)=8\). Das setzen wir einfach ein:$$y=3+8\cdot(x-1)=3+8x-8=8x-5$$

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Ach so, dankeschön

Answer 2

a) sollte klar sein

b) lim x ->oo = -oo (= lim des Terms mit der höchsten Potenz)

c) t(x) = (x-1)*f '(1) + f(1)

Comments

Nein a) ist mir nicht klar

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Extrema: f '(x)=0 setzen und Ergebnisse in f ''(x) einsetzen

Sattelpunkt: f '(x)= 0 u. f ''(x) = 0

https://www.mathebibel.de/kurvendiskussion

Answer 3

Hallo,

zu a)

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