Aloha :)
$$f(x)=-x^4+4x^3$$$$f'(x)=-4x^3+12x^2$$$$f''(x)=-12x^2+24x$$$$f'''(x)=-24x+24$$
zu a)
Kandidaten für Extrempunkte sind dort, wo die erste Ableitung verschwindet:$$0\stackrel{!}{=}f'(x)=-4x^3+12x^2=-4x^2(x-3)\quad\Rightarrow\quad x_1=0\;;\;x_2=3$$Wir prüfen, ob es sich tatsächlich um Extrema handelt:
$$x_1=0\quad\Rightarrow\quad f''(x_1)=0\quad;\quad f'''(x_1)=24\ne0\quad\Rightarrow\quad\text{Sattelpunkt}$$Die erste von Null verschiedene Ableitung ist die dritte, also eine ungerade. Daher liegt dort keine Extremum, sondern eine Sattelpunkt vor.
$$x_2=3\quad\Rightarrow\quad f''(x_2)=-36<0\quad\Rightarrow\quad\text{Maximum}$$Bei \(x=0\) liegt ein Sattelpunkt vor, bei \(x=3\) liegt das einzige und damit das globale Maximum vor.
zu b)
$$f(x)=-x^4+4x^3=x^3\cdot(4-x)$$$$\Rightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\quad;\quad\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$$
zu c)
$$t_1(x)=f\left(1\right)+f'\left(1\right)\left(x-1\right)=3+8(x-1)=8x-5$$
~plot~ -x^4+4x^3 ; [[-2|5|-10|30]] ; 8x-5 ~plot~