Aufgabe:
Im \( \mathbb{Q^4} \) sei folgender Untervektorraum gegeben:
\( U = \lbrace{ \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix} \in \mathbb{Q^4}\, | \, x_1 - x_2 - x_4 = 0 = x_2 - x_3 - x_4 \rbrace} \)
Bestimmen Sie eine Basis von U.
Wollte fragen, ob mein Vorgehen richtig ist.
Es gelten:
\( x_1 - x_2 - x_4 = 0\\[5pt] x_2 - x_3 - x_4 = 0 \\[5pt] \Longrightarrow x_2 = x_3 + x_4 \quad \Longrightarrow x_1 = x_3 + 2x_4 \\[10pt] \Longrightarrow U = \lbrace{ x_3 \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix} + x_4 \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \, | \, x_3,x_4 \in \mathbb{Q} \rbrace} \)
Da nun \(\begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix} \)und \(\begin{pmatrix} 2\\1\\0\\1 \end{pmatrix}\) linear unabhängig sind, ist \( \lbrace{ \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \rbrace} \subseteq U\) eine Basis von U.
