Aloha :)
Du kannst jede komlpexe Zahl \(x+iy\) in der Form \(re^{i\varphi}\) darstellen, wobei \(r:=\sqrt{x^2+y^2}\) ist. Bei deiner Umwandlung von \(z=-1-i\) kannst du daher wie folgt vorgehen:
1) Berechne \(r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt2\)
2) Klammere \(r=\sqrt2\) aus: \(z=-1-i=\sqrt{2}\left(\underbrace{\frac{-1}{\sqrt2}}_{=\cos\varphi}+i\,\underbrace{\frac{-1}{\sqrt2}}_{=\sin\varphi}\right)=\sqrt{2}\left(\underbrace{\frac{-1}{\sqrt2}}_{=\cos\varphi}-i\,\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{=\sin\varphi}\right)\)Beachte, dass sich beide Varianten darin unterscheiden, ob vor dem \(i\) ein positives oder ein negatives Vorzeichen steht. Beide Varianten sind möglich.
3) Ermittle \(\varphi=\arccos\left(\frac{-1}{\sqrt2}\right)=\frac{3}{4}\pi\)
4) Prüfe das Vorzeichen des Sinus: \(\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\frac{1}{\sqrt2}\). Der Sinus ist positiv, also müssen wir die zweite Variante wählen:
$$z=-1-i=\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)-i\,\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right)\right)=\sqrt2\,e^{-i\,3\pi/4}$$
