Bestimmen Sie das folgende Integral

Question

Bestimmen Sie das Integral. \( \int \limits_{2}^{4} \frac{2}{\left(1+\frac{1}{2} x\right)^{2}} \mathrm{d} x \)

!

Answer 1

Aloha :)$$I=\int\limits_2^4\frac{2}{\left(1+\frac{1}{2}x\right)^2}dx$$Substituiere wie folgt:$$z=1+\frac{1}{2}x\quad;\quad \frac{dz}{dx}=\frac{1}{2}\;\Leftrightarrow\;dx=2\,dz\quad;\quad z(2)=2\quad;\quad z(4)=3$$Damit wird das Integral zu

$$I=\int\limits_2^3\frac{2}{z^2}\,2\,dz=4\int\limits_2^3z^{-2}dz=4\left[\frac{z^{-1}}{-1}\right]_2^3=4\left[-\frac{1}{z}\right]_2^3=4\cdot\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}$$