Integrieren mit partieller Integration: Integral_0^2 x*2^x dx

Question

Es gilt folgendes Integral partiell zu integrieren:

∫₀² x*2^x dx

Ich würde dabei x als f(x) wählen und 2^x als g'(x). Doch wie integriert man 2^x?

Comments

Meinst Du

$$\int_0^2 \sqrt{x}2^x\ dx$$

? Immerhin willst Du als f(x) nur x wählen?!

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Für den Fall, dass das keine Wurzel sondern ein Integralzeichen sein sollte, kannst du bestimmt mit der Antwort in diesem Link etwas anfangen.

https://www.mathelounge.de/23529/partielle-integration-von-x-2-3-2x-dx

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Ups, das ist ein Tippfehler:

∫ x2^x dx mit den Grenzen 0 und 2

Answer 1

Hi,

Du hast Dir den Link von Lu angeschaut?

Nunja wie dem auch sei:

 

$$\int 2^x\cdot x dx$$

mit f = x und g' = 2^x

--> f' = 1 und g = 2^x/ln(2)

Um auf g zu kommen schreibe g' = 2^x = e^{x ln(2)}. Die Integration führt direkt auf g

 

Nach den Regeln der partiellen Integration:

$$\frac{2^x\cdot x}{\ln(2)} - \frac{1}{\ln(2)}\int 2^x dx$$

Letzteres Integral hatten wir ja gerade:

$$\frac{2^x\cdot x}{\ln(2)} - \frac{2^x}{\ln^2(2)}$$

 

Unter Berücksichtigung der Grenzen ergibt sich:

≈5,297

 

Grüße