Wie berechnet man die Koordinaten der Berührungspunkte, wenn durch den Ursprung Tangenten an den Graphen gelegt werden?

Question

Aufgabe:

Durch den Ursprung (0/0) werden Tangenten an den Graphen der Funktion f: x -> y gelegt. Welche Koordinaten haben die Berührungspunkte?

y= (x-3)²       y= x²-6x+9

Problem/Ansatz:

Die Ableitung lautet y'= 2x - 6

Aber wie berechnet man jetzt die Berührungspunkte?

Answer 1

Die Tangentengeraden haben die Gleichung y = mx + q wobei q = 0 weil sie durch den Ursprung gehen. Für die Steigung gilt m = 2x - 6

Da die Tangenten die Funktion berühren, gilt (2x-6)x = x²-6x+9

d.h. die x-Koordinaten der Berührungspunkte sind bei ± 3.

Comments

aber wieso muss man es noch mal x rechnen?

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was noch mal x rechnen?

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(2x-6)x   da, wieso muss ich 2x+6  noch * x rechnen?

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Das steht im ersten Satz meiner Antwort.

Answer 2

$$f(x)=y= (x-3)^2 \quad; \qquad y= x^2-6x+9 \quad;\qquad y'= 2x - 6=2\cdot(x-3)$$

Tangente $t(x)=m_T\cdot x$

Im Berührpunkt $(x_0|y_0)$ gilt:

$$f(x_0)=t(x_0)\quad; \quad f'(x_0)=t'(x_0)=m_T$$

$$f(x_0)=(x_0-3)^2=2\cdot(x_0-3)\cdot x_0$$

$$x_{01}=3 \quad;\quad x_{02}-3=2x_{02}\Rightarrow x_{02}=-3$$

$$x_{01}=3 \quad;\quad f'(x_{01})=2\cdot(3-3)=0 \quad;\quad t_1(x)=0 ~~~y-\text{Achse}$$

$$x_{02}=-3 \quad;\quad f'(x_{02})=2\cdot(-3-3)=-12 \quad;\quad t_2(x)=-12x$$