Bildungsgesetz der geometrischen Reihe verwenden bei 1+2+4+.........+1024=

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie Mithilfe des Bildungsgesetz es der geometrischen Reihe:

1+2+4+.........+1024=

Lösung :2047

Problem/Ansatz:

ich komme leider gar nicht auf die lösung, da ich nicht weiß was n ist

Bitte um Hilfe

Answer 1

Die Reihe hat 11 Glieder und q=2: \( \frac{2^{11}-1}{2-1} \) =2¹¹-1=2047.  

Comments

Sind es nicht 11 Summanden?

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Danke aber woher weißt du das die Reihe 10 glieder hat, ich weiß ja dass  2^10=1024 sind

^{aber wie kommt man drauf?}  und warum 11 wenn es 10 glieder sind 

  

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Du addierst 2⁰ bis 2¹⁰, das sind Potenzen mit 11 verschiedenen Exponenten.

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EDIT: Habe mir erlaubt aus der 10 in Rolands Antwort eine 11 zu machen.

Answer 2

Hallo,

\( S=\sum \limits_{k=1}^{11} a_{k} \)

\( S=a_{1} \frac{q^{n}-1}{q-1}=1 \cdot \frac{2^{11}-1}{2-1} \)

\( S=2047 \)

Comments

Dankeschön, aber warum 11 wenn es 10 glieder sind, und wie kommt man auf 10 glieder

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Es sind 11 Glieder:

1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024

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Kann man es auch irgendwie anders ausrechnen dass es 11 glieder sind außer dem aufzählen?

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Du addierst 2⁰ bis 2¹⁰, das sind Potenzen mit 11 verschiedenen Exponenten.

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sind die 11 glieder auch summanden?

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Du addierst

könnte tatsächlich irgendwie darauf hinweisen, dass man hier Summanden hat.

Answer 3

Die Glieder der Reihe sind die Folge

an = 2^n

Für die Teilsumme gilt dann

sn = a0 * (1 - q^(n + 1))/(1 - q)

s10 = 1 * (1 - 2^(10 + 1))/(1 - 2) = 2047

Zum Verständnis lies auch unter: https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Comments

Wann benutzt man diese Formel?

Ich dachte die Formel ist s_{n} =1• (1-q^n) / (1-q)

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Bei der Formel beginnen die Glieder bei a1 und s1. Ich halte mich hier mal an die Definition aus Wikipedia für dein besseres Verständnis.

Answer 4

1+2=3=4-1

1+2+4=7=8-1

1+2+4+8=15=16-1

Also: Letzter Summand verdoppelt minus 1.

Deshalb:

1+2+4+...+1024=2048-1=2047