Konvergenzbereich berechnen

Question

\( \frac{(-1^n)*3^n}{\sqrt{n^2+1}} \)

ich bin soweit gekommen

\( \frac{-1*3(\sqrt{n^2+1})}{\sqrt{n+1)^2+1}} \)

kanN ich da jetzt schon Lim gegen unendlich einsetzen oder muss ich weiter umformen

wenn ja dann wie ?

Answer 1

Aloha :)

Ich vermute, dass der angegebene Bruch die Koeffizienten$$a_n=\frac{(-1)^n\cdot3^n}{\sqrt{n^2+1}}$$eines Polynoms darstellen und du nun den Konvergenzradius \(r\) dieses Polynoms bestimmen sollst. Dein Term sieht so aus, als hättest du dazu \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) betrachtet. Das wird jedoch beim Quotientenkriterium angwendet, um die Konvergenz von Reihen zu betrachten. Für den Konvergenzradius hingegen gilt:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^n\cdot3^n}{\sqrt{n^2+1}}\cdot\frac{\sqrt{(n+1)^2+1}}{(-1)^{n+1}\cdot3^{n+1}}\right|=\frac{1}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{(n+1)^2+1}}{\sqrt{n^2+1}}$$$$\phantom{r}=\frac{1}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}\sqrt{(n+1)^2+1}}{\frac{1}{n}\sqrt{n^2+1}}=\frac{1}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\frac{1}{3}$$

Comments

macht es denn einen unterschied ob ich  an+1/ an oder an/an+1 rechne ?

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Ja, als Konvergenzradius hätten wir bei \(a_{n+1}/a_n\) den Wert \(3\) herausbekommen. Der richtige Wert folgt aber aus \(a_n/a_{n+1}\) zu \(\frac{1}{3}\).

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dankesehr!!!!