Zeige rang(A) < n => AB = 0

Question

Aufgabe:

Es sei \( A \in K^{n\times n} \).

Es sei rang(A) < n. Man zeige, dass es eine Matrix \( 0 \neq B \in K^{n\times n} \) gibt, mit \( A \cdot B = 0 \).

Habe leider keinen sinnvollen Ansatz. Das einzige was mir in den Sinn kommt ist, dass rang(A) < n => A nicht invertierbar. Aber damit komme ich irgendwie nicht weiter..

Answer 1

Nimm einen Vektor x aus Kern(A), also Ax=0, x≠0.

Schreibe x n-mal nebeneinander, also in Matrixform(x,x,...x)

Dann gilt: A(x,x,...x)= Nullmatrix