Bestimmen Sie eine Basis C des R3

Question

Sei f : R³ → R³ die lineare Abbildung f = \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \begin{pmatrix} z - 3y\\x+y+z\\2y-x \end{pmatrix}

Sei B die Basis \( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 3\\1\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) des R³. Bestimmen Sie eine Basis C des R³ derart, dass _CM_B(f) = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)  ist.

Meine Lösung Lautet, dass die Basis C des ℝ^3 aus den Vektoren \( \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 2\\-5\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} -2\\5\\-1 \end{pmatrix} \). Stimmt das?

Answer 1

Nach meiner Rechnung nicht

f: \(\small eMe \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&-3&1\\1&1&1\\-1&2&0\\\end{array}\right)\)

Basistransformationmatrix Basis B

\(\small eTb \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}2&3&1\\1&1&0\\1&1&1\\\end{array}\right)\)

cMb = eTc^(-1) eMe eTb

===>

eTc≔(cMb*eTb^(−1)eMe^(−1))^(−1)

\(\small eTc \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-3&1&-1\\3&2&2\\0&-1&0\\\end{array}\right)\)

Comments

Müsste dann nicht bei deiner ersten Matrix in der ersten Spalte zweite Zeile eine 2 stehen?

---

eMe (x,y,z)=(((-3) * y) + z, x + y + z, (-x) + (2 * y))

Ist das f? Dann nein....

---

Ja. Kannst du mir erklären, wie du darauf kommst?

---

Hm, ich komme dadrauf, weil das Matrix Vektor Produkt so definiert ist, dass zeile(matrix).spalte(Vektor) zusammentrifft

---

Ja, schon..... aber wie gesagt. Für x müsste in der zweiten Zeile ne 2 stehen. Keine 1 wie bei dir.

Oder multiplizierst du die Einheitsvektoren mal Matrix?

---

Wo kommen in

eMe (x,y,z)

Einheitsvektoren vor.Du stellst die falschen Fragen. Die richtige Frage heißt stellt die Matrix eMe die Funktion f dar? dann ist Sie korrekt. Wenn nicht , dann zeig mir den Fehler oder alternativen...

---

Ich würde einfach nur gerne wissen wie du auf die Matrix eMe kommst. Mehr möchte ich nicht wissen. Der Rest ist mir erkenntlich

---

Also nochmal

eMe = (mij)

Wenn 1. zeile

(m11,m12,m13)(x,y,z)=m11x+m12y+m13z=z-3y

Sein soll, wie sieht dann die 1. zeile m1j dann aus?

2/3 zeile analog