Aloha :)
Das Bild einer Matrix (bzw. linearen Abbildung) kann als Linearkombination von ihren Spaltenvektoren geschrieben werden. Die Spaltenvektoren bilden daher ein sog. Erzeugendensystem für das Bild. Eine Basis ist definiert als ein Erzeugendensystem, das mit möglichst wenig Vektoren auskommt. Du musst also aus dem Erzeugendensystem bzw. den Spaltenvektoren alle linear abhängigen Vektoren entfernen und hast dann eine Basis des Bildes.
Für jeden Spaltenvektor, den du aus dem Erzeugendensystem des Bildes streichen konntest, wächst die Basis des Kerns um eine Dimension bzw. einen Basisvektor an. Der Kern einer linearen Abbildung kann also mehrere voneinander linear unabhängige Vektoren enthalten. Diese bilden eine Basis des Kerns.
