Aloha :)
Mir ist bei der Aufgabenstellung nicht ganz klar, was konkret die lineare Hülle ist? Sind es die ersten 3 Vektoren oder die unteren 2?
1. Fall: \(\vec a,\vec b,\vec c\) sollen als Linearkombination von \(\vec x,\vec y\) geschreiben werden.
Deine Idee ist richtig. Du kannst prüfen, ob es Werte \(x\) und \(y\) gibt, sodass:
$$\left(\begin{array}{r}2\\-8\\5\end{array}\right)\cdot x+\left(\begin{array}{r}-2\\2\\-3\end{array}\right)\cdot y=\left(\begin{array}{r}1\\-7\\6\end{array}\right)\;\text{bzw.}\;\left(\begin{array}{r}2\\4\\4\end{array}\right)\;\text{bzw.}\;\left(\begin{array}{r}2\\-6\\4\end{array}\right)$$In jedem Fall hast du 2 Unbekannte und 3 Gleichungen. Du wählst 2 Gleichungen aus, bestimmst damit \(x\) und \(y\) und prüfst schließlich, ob dann auch die dritte Gleichung erfüllt wird.
Aufgabe 1:$$\left(\begin{array}{r}2\\-8\\5\end{array}\right)\cdot x+\left(\begin{array}{r}-2\\2\\-3\end{array}\right)\cdot y=\left(\begin{array}{r}1\\-7\\6\end{array}\right)$$Die erste und die zweite Gleichung liefern:$$\begin{array}{r}2x&-2y&=1\\-8x&2y&=-7\end{array}\;\;\Rightarrow\;\;-6x=-6\;\;\Rightarrow\;\;x=1\;;\;y=\frac{1}{2}$$Aber: \(5\cdot1+(-3)\cdot\frac{1}{2}=3,5\ne6\). A liegt also nicht in der linearen Hülle.
Aufgabe 2:$$\left(\begin{array}{r}2\\-8\\5\end{array}\right)\cdot x+\left(\begin{array}{r}-2\\2\\-3\end{array}\right)\cdot y=\left(\begin{array}{r}2\\4\\4\end{array}\right)$$Die erste und die zweite Gleichung liefern:$$\begin{array}{r}2x&-2y&=2\\-8x&2y&=4\end{array}\;\;\Rightarrow\;\;-6x=6\;\;\Rightarrow\;\;x=-1\;;\;y=-2$$Aber: \(5\cdot(-1)+(-3)\cdot(-2)=1\ne4\). B liegt also nicht in der linearen Hülle.
Aufgabe 3:$$\left(\begin{array}{r}2\\-8\\5\end{array}\right)\cdot x+\left(\begin{array}{r}-2\\2\\-3\end{array}\right)\cdot y=\left(\begin{array}{r}2\\-6\\4\end{array}\right)$$Die erste und die zweite Gleichung liefern:$$\begin{array}{r}2x&-2y&=\phantom{-}2\\-8x&2y&=-6\end{array}\;\;\Rightarrow\;\;-6x=-4\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{2}{3}\;;\;y=-\frac{1}{3}$$Aber: \(5\cdot\frac{2}{3}+(-3)\cdot(-\frac{1}{3})=\frac{13}{3}\ne4\). C liegt also nicht in der linearen Hülle.
2. Fall: \(\vec x,\vec y\) sollen als Linearkombination von \(\vec a,\vec b,\vec c\) geschreiben werden:
$$\left(\begin{array}{r}1\\-7\\6\end{array}\right)\cdot x+\left(\begin{array}{r}2\\4\\4\end{array}\right)\cdot y+\left(\begin{array}{r}2\\-6\\4\end{array}\right)\cdot z=\left(\begin{array}{r}2\\-8\\5\end{array}\right)$$$$\Rightarrow\quad x=\frac{1}{4}\quad;\quad y=-\frac{1}{10}\quad;\quad z=\frac{39}{40}\quad\checkmark$$
$$\left(\begin{array}{r}1\\-7\\6\end{array}\right)\cdot x+\left(\begin{array}{r}2\\4\\4\end{array}\right)\cdot y+\left(\begin{array}{r}2\\-6\\4\end{array}\right)\cdot z=\left(\begin{array}{r}-2\\2\\-3\end{array}\right)$$$$\Rightarrow\quad x=\frac{6}{11}\quad;\quad y=-\frac{5}{11}\quad;\quad z=-\frac{13}{11}\quad\checkmark$$
