Muss ich die Wendetangente ausrechnen bei: Wann ist nach diesem Modell der Wirkstoff vollständig verbraucht?

Question

Aufgabe:

Die Konzentration des Wirkstoffs eines Medikaments im Blut eines Patienten kann näherungsweise durch eine Funktion f mit f(t)=3*t*e^(-0.25*t) beschrieben werden. Dabei wird t in Stunden seit der Einnahme und f(t) in mg/l gemessen.

Berechnen Sie den Zeitpunkt, den dem die Konzentration am stärksten abnimmt. Ab diesem Zeitpunkt nimmt die Konzentration des Wirkstoffs linear ab. Die lineare Abnahme wird durch die Tangente an den Graphen von f an diesem Zeitpunkt beschrieben. Wann ist nach diesem Modell der Wirkstoff vollständig verbraucht?

Problem/Ansatz:

Wie muss ich an diese Aufgabe rangehen? Was ist überhaupt gesucht?

LG

Comments

Was ist überhaupt gesucht?

Gesucht ist zunächst der

Zeitpunkt, den dem die Konzentration am stärksten abnimmt

und danach jener, zu dem

nach diesem Modell der Wirkstoff vollständig verbraucht

ist.

Answer 1

f(t) = 3·t·e^(- 0.25·t)

f'(t) = e^(- 0.25·t)·(3 - 0.75·t)

f''(t) = e^(- 0.25·t)·(0.1875·t - 1.5) = 0 → t = 8

t(t) = f'(8)·(t - 8) + f(8) = 3·e^(-2)·(16 - t) = 0 → t = 16

Skizze

~plot~ 3x*e^(-0.25x);3/e^2*(16-x);[[0|20|0|7]] ~plot~

Comments

Vielen Dank! Könntest du mir deinen Rechenweg vielleicht einmal erklären? Ich verstehe nicht ganz, was du warum gemacht hat^^"

---

Ich habe folgendes gemacht

1. erste Ableitung gebildet

2. zweite ableitung gebildet

3. zweite ableitung null gesetzt und nach t aufgelöst → das gibt die wendestelle

4. allgemeine tangentengleichung aufgestellt

5. Diese Null gesetzt und nach der Nullstelle der Tangente aufgelöst.

Dann war ich fertig.