Funktionstermbestimmung: Nullstelle bei x=2

Question

Aufgabe:

Eine achsensymmetrische ganzrationale Funktion 4. Grades haben eine Nullstelle bei x=2, sowie einen Hochpunkt bei H(1/9). Bestimmen Sie den zugehörigen Funktionsterm.

Problem/Ansatz:

Bei den Makierten verstehe ich nicht, was damit gemeint ist. Muss man dafür in die Ausgangsgleichung, oder und in die erste Ableitung, oder und in die dritte Ableitung einsetzen ?

Answer 1

Hi,

eine Nullstelle ist nichts anderes als f(x) = 0.

Für uns wäre das also f(2) = 0.

Übrigens zur Kontrolle:

\(f(x) = -x^4 + 2x^2 + 8\)

Grüße

Answer 2

Gegeben
f ( x ) = a*x^4 + b*x^3 + c * x^2 + d * x + e
Wegen Achsensymmetrie nur gerade Hochzahlen
f ( x ) = a*x^4 + c * x^2 + e
f ´ ( x ) = 4*a*x^3 + 2*c * x

4. Grades haben eine Nullstelle bei x=2, sowie einen
f ( 2 ) = 0
sowie einen Hochpunkt bei H(1/9).
f ( 1 ) = 9
f ´ ( 1 ) = 0
Bestimmen Sie den zugehörigen Funktionsterm.

Answer 3

Achsensymmetrisch: \(f(x)=ax^4+bx^2+c\)

                                  \(f'(x)=4ax^3+2bx\)

Nullstelle bei x=2: \(f(2)=0=16a+4b+c~~~~~(I)\)

Hochpunkt H(1|9):

            \(f(1)=9=a+b+c~~~~~(II)\)

            \(f'(1)=0=4a+2b\Rightarrow b=-2a\)

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$$ ~(I)~~~0=16a-8a+c\Rightarrow 0=8a+c ~~~~~(III)$$

$$ (II)~~~9=a-2a+c\Rightarrow 9=-a+c ~~~~~(IV)$$

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$$ (III)-(IV)~~~-9=9a\Rightarrow a=-1 $$

$$ (IV)\Rightarrow c=8$$

$$ b=2 $$

$$ f(x)=-x^4+2x^2+8$$

https://www.desmos.com/calculator/gotcfbmaer