Methode 1:
Sei \(f_k(x)=(2k+1)(2x)^{2k}\). Dann gilt$$\left|\frac{f_{k+1}(x)}{f_k(x)}\right|=\frac{(2k+3)(2x)^{2k+2}}{(2k+1)(2x)^{2k}}=\frac{2k+3}{2k+1}\cdot (2x)^2\rightarrow (2x)^2$$für \(k\rightarrow \infty\).
Die Forderung \((2x)^2\lt 1\) liefert \(|2x|\lt 1\), also Konvergenzradius \(R=1/2\)
Methode 2:
Hier verwende ich Sätze aus der Theorie der Potenzreihen.
Es sei \(y=2x\). Dann ist unsere Reihe \(=\sum(2k+1)y^{2k}\).
Gliedweise Integration über \(y\) liefert $$\sum y^{2k+1}=y\cdot \sum(y^2)^k=\frac{y}{1-y^2}=\frac{y}{(1+y)(1-y)}$$Da der Konvergenzkreis immer bis zum nächstgelegenen Pol reicht, hat diese Reihe in \(y\)
den Konvergenzradius 1, also konvergiert sie für \(|y|\lt 1\).
Nun ändert gliedweises Integrieren und gliedweises Differenzieren den Konvergenzradius
einer Potenzreihe nicht. Daher konvergiert die gegebene Reihe für
\(|2x|=|y|<1\), d..h. \(R=1/2\).
