Eigenschaften von Stammfunktionen

Question

Aufgabe:

F sei eine Stammfunktion der ganzrationalen Funktion f. Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr ist. Begründen Sie wahre Aussagen und geben Sie ein Gegenbeispiel an, falls die Aussage falsch ist.

Da ich mündlich in Mathe gehe, würde ich mich freuen, ob meine Beurteilung so stimmt, und was bei der zweiten Aussage richtig ist:

- Haben zwei Funktionen eine gleiche Stammfunktion, so sind die beiden Funktionen identisch

---> richtig, denn anders wie beim Differenzieren fällt kein konstanter Faktor weg, welcher die beiden Funktionen unterscheiden könnten. Das Potenzgesetz, welches immer +1 in den x-Potenzen der Exponenten hinzuaddiert, unterstützt diese These.

- Es gibt eine Funktion f, die mit ihrer Stammfunktion F übereinstimmt

---> da bin ich überfragt.. ist f(x)=0 integriert F(x)=0? Könnte doch genauso gut F(X)=9 etc. sein...

Danke für die Hilfe!

Answer 1

ist f(x)=0 integriert F(x)=0

F(x) = 0 impliziert f(x) = 0, aber nicht zwingend umgekehrt.

Answer 2

Das Potenzgesetz, welches immer +1 in den x-Potenzen der Exponenten hinzuaddiert, unterstützt diese These.

Das vergiss mal schnell wieder, denn es gibt unendlich viele Funktionen, die NICHT Terme der Form xⁿ enthalten (z.B. sin(x)), wo du mit diesem "+1" absolut nichts anfangen kannst.

- Es gibt eine Funktion f, die mit ihrer Stammfunktion F übereinstimmt

Schon die Frage ist falsch. Keine Funktion hat "ihre" Stammfunktion. Wenn sie Stammfunktionen hat, dann hat sie unendlich viele verschiedene Stammfunktionen.

Würde die Aussage lauten:

- Es gibt eine Funktion f, die mit einer ihrer Stammfunktionen übereinstimmt

hättest du mit f(x)=0 ein passendes Beispiel gefunden. Ein weiteres Beispiel wäre dann f(x)=e^x.