Primteile Quadrat einer Primzahl

Question

Aufgabe:

Wie viele verschiedene natürliche Zahlen \( >1 \) gibt es, die durch kein Quadrat einer Primzahl geteilt werden und deren sämtliche Primteiler in der Menge
$$ P=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23\} $$
liegen?

Problem/Ansatz:

Verstehe nicht ganz wie ich daran gehen soll.

Also ich verstehe das so habe ich z.B. die 2 kann ich die durch kein Quadrat einer Primzahl teilen die 3 auch nicht aber die  4 ist z.B durch 2^2 teilbar usw. Aber wie schreibe ich das vernünftig auf

Answer 1

Bilde Zahlen=Produkte aus Elementen der Menge P, die jedes Element von P höchstens einmal enthalten. Das sind \( \sum\limits_{n=1}^{9}{\begin{pmatrix} 9\\n \end{pmatrix}} \) Zahlen.

Answer 2

Deine gesuchten natürlichen Zahlen haben dann die Form
\(2^{k_1}\cdot 3^{k_2}\cdot 5^{k_3}\cdot7^{k_4}\cdot 11^{k_5}\cdot 13^{k_6}\cdot17 ^{k_7}\cdot19^{k_8}\cdot23 ^{k_9}\), wobei alle \(k_i\) nur einen der beiden Werte 0 bzw. 1 annehmen.

Das sind vorerst 2⁹ Möglichkeiten.

Da diese Zahlen aber >1 sein sollen, muss eine Möglichkeit (kein Primfaktor kommt vor, alle Exponenten 0) ausgeschlossen  werden, und es gibt also nur 2⁹-1 Möglichkeiten.

(Diese Antwort entspricht dem Ergebnis von Roland; möglicherweise weißt du, dass die Summe aller Zahlen in der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks 2ⁿ ist. Roland hat die Summierung nicht mit \( \begin{pmatrix} 9 \\0 \end{pmatrix} \), sondern erst mit  \( \begin{pmatrix} 9 \\1 \end{pmatrix} \) begonnen und dabei genau einen Summanden 1 weggelassen.)