Das Dach eines Hauses Algebra

Question

Aufgabe:

Gegebn sind die Punkte A(8/0/0), B(8/8/0), M(4/4/5), C(0/8/0) und  F(8/4/5)

Durch den Schwerpunkt der Dreiecksfläche BFM soll ein 8 Meter langer Fahnenmast so geführt werden, dass er orthogonal zur Dachfläche BFM austritt und am Boden des Daches verankert wird. Der Ortsvektor des Schwerpunktes S eines Dreiecks ABC lässt sich mithilfe der Formel S=\( \frac{1}{3} \) (a + b + c) nerechnen, wobei a , b, c die Ortsvektoren der Punkte A, B, C sind.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Verankerungspunktes V des Fahnenmasts am Boden des Daches sowie die Koordinaten der Fahnenmstspitze T.

(Kontrolle: V(6,67/1,17/0) T(6,67/7,41/5)

b) Berechnen Sie die Länge des aus dem Dach ragenden Teils des Fahnenmasts.

Habe leider keine Ahnung wie man das rechnet :(

Comments

Weiss man beiläufig was zu F?

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Dreieck BFM: welcher Punkt ist F?

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Der Punkt F ist F(8/4/5) sorry :)

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hast du den Schwerpunkt bestimmt,  hast du die Ebene BFM aufgestellt, in Koordinatenform kennst du dann die Normalem daraus die Gerade auf der der Mast liegt, diese mit der Ebene z=0 schneiden gibt V, dann Länge VS bestimmen, von 8m abziehen, soweit ragt der Mast raus.

Gruß lul

Answer 1

Dachfläche BFM hat z.B. die Gleichung     E: 0x+5y+4z=40.

Schwerpunkt S=(20/3 ; 16/3 ; 10/3 )

orthogonal zu E hat die Richtung

                0
v=            5
               4

Also Gerade durch S mit Richtung v ist

               20/3                   0
g:   x =   16/3     +     t  *  5
              10/3                   4

Punkt auf g mit 3. Koordinate 0 entsteht für    10/3 +  4*t  = 0

also  t =   -5/6    in g einsetzt gibt V(20/3  ;  7/6   ; 0).

Mast ist 8m lang , also hat Vektor von V nach T die Länge 8

und ist Vielfaches von v, welches die Länge √41 ≈ 6,403 hat.

Also T = V + 1,249*v =  ( 20/3  ;  7/6+6,247  ;   4*1,249 )

Comments

Also auf mein Punkt V bekomme ich, aber wie kommst du auf T ? Versteh es leider nciht ganz...

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Mast ist 8m lang , also hat Vektor von V nach T die Länge 8

Das sollte klar sein.

und ist Vielfaches von v, welches die Länge √41 ≈ 6,403 hat

\(\sqrt{41}\) ergibt sich aus \(\sqrt{5^2+4^2}\)

Also T = V + 1,249*v =  ( 20/3  ;  7/6+6,247  ;  4*1,249 )

1,249 = \(8:\sqrt{41}\)

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Wie kommt man auf die 10/3 beim Schwerpunkt. Ich komme da auf 0, weil alle z-Koordinaten (also von A,B und C) null sind.

Answer 2

Hallo,

Verankerungspunkt:

du stellst zunächst die Gleichung der Ebene, in der das Dreieck BFM liegt, auf. Anschließend berechnest du den z.B. mit Hilfe des Kreuzprodukts der Richtungsvektoren den Normalenvektor der Ebene.

Die Koordinaten des Schwerpunktes berechnest du nach der im Aufgabentext genannten Formel.

Aus dem Schwerpunkt und dem Normalenvektor stellst du die Gleichung für die Gerade auf, die auf die Dachfläche trifft.

Da der Mast in der x-y-Ebene verankert wird, ist die Koordinatengleichung des Dachbodens z = 0. Hiermit kannst du den Parameter für die Gerade berechnen (zur Kontrolle: r = 5/6). Das setzt du in die Geradengleichung ein und erhältst die Koordinaten des Verankerungspunktes.

Gruß, Silvia