Kurvendiskussion in verschiedenen Aspekten lösen

Question

Hallo Beisammen!

Um die schulfreie Zeit zu nutzen, begebe ich mich gerade an die Wiederholung von Kurvendiskussion für die Abiturprüfung.

Nun bin ich auf folgende Aufgaben im Hefter gestoßen, die nicht gelöst wurden sind.

Die Aufgabe lautet:

Gegeben ist die Funktion f(x)=x^3-6x^2+9x-4:

1) Bestimme die Symmetrie

2) Bestimme das Verhalten im Unendlichen

3)Bestimme die Schnittpunkte/Extrempunkte/Wendepunkte mit den Koordinatenachsen

4) Berechne die Fläche unterhalb des Graphen (Graph schließt mit der x-Achse eine Fläche vollkommen ab)

5)Gib die Tangentengleichung an (P(3|f(3))) sowie Schnittwinkel mit x-Achse.

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ich eure Lösungen zum Vergleich heran ziehen könnte.

Ich danke im Voraus und bleibt Gesund!

Answer 1

f(x)=x³-6x²+9x-4:

1) Bestimme die Symmetrie

Polynomfunktionen mit nur geraden Exponenten sind symmetrisch zur y-Achse.

Polynomfunktionen mit nur ungeraden Exponenten sind symmetrisch zum Ursprung (0|0)

2) Bestimme das Verhalten im Unendlichen

Im Unendlichen überwiegt die größte Potenz x³.

3)Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen /Extrempunkte/Wendepunkte

Schnittpunke mit der x-Achse: setze y=0.

Schnittpunke mit der x-Achse: setze x=0.
Die x-Koordinaten von Extrempunkten sind Nullstellen der 1. Ableitung.
Die x-Koordinaten von Wendepunkten sind Nullstellen der 2. Ableitung.

4) Berechne die Fläche unterhalb des Graphen (Graph schließt mit der x-Achse eine Fläche vollkommen ab)

Berechne die Nullstellen und dann das Integral (die Integrale) in den Grenzen der Nullstellen.

5)Gib die Tangentengleichung an (P(3|f(3))) sowie Schnittwinkel mit x-Achse.

f(3) berechnen; f '(3) berechnen. f '(3)=\( \frac{y-f(3)}{x-3} \) ist die Gleichung der Tangente. Schnittwinkel siehe Formelsammlung.

Comments

Okay, erstmal vielen Dank!

Aber eins habe ich nicht verstanden. Wie berechne ich nun die Nullstelle. Die Funktion gleich 0 setzten, aber wie fahre ich nun fort? Die 4 auf die andere Seite addieren oder ausklammern?

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Für Polynome 3. Grades =0 gibt es zwar Cardanische Formeln, aber die sind kein Schulstoff. Da bleibt noch Raten oder Approximieren (notfalls der GTR).

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Habe es jetzt doch irgendwie mit der Polynomdivision herausgefunden. Bin auf 1&4 gekommen, als x Werte.

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Aber eins habe ich nicht verstanden. Wie berechne ich nun die Nullstelle. Die Funktion gleich 0 setzten, aber wie fahre ich nun fort? Die 4 auf die andere Seite addieren oder ausklammern?

Die erste Nullstelle findest du bei raten bei x = 1 oder x = 4

Dann machst du eine Polynomdivision und erkennst das x = 1 eine doppelte Nullstelle ist.

Answer 2

Das sieht bei mir so aus

Funktion und mind. 2 Ableitungen
f(x) = x^3 - 6·x^2 + 9·x - 4
f'(x) = 3·x^2 - 12·x + 9
f''(x) = 6·x - 12

Symmetrie
Keine Untersuchte Symmetrie bedingt durch gerade und ungerade Potenzen von x

Verhalten im Unendlichen
lim (x → -∞) f(x) = -∞
lim (x → ∞) f(x) = ∞

Y-Achsenabschnitt: f(0)
f(0) = -4

Nullstellen: f(x) = 0
f(x) = x^3 - 6·x^2 + 9·x - 4 = 0 → x = 1 (2-fach) ∨ x = 4

Extrempunkte: f'(x) = 0
3·x^2 - 12·x + 9 = 0 → x = 1 ∨ x = 3
f(1) = 0 → HP(1 | 0)
f(3) = -4 → TP(3 | -4)

Wendepunkte: f''(x) = 0
6·x - 12 = 0 → x = 2
f(2) = -2 → WP(2 | -2)

Fläche die vom Graphen mit der x-Achse gebildet wird
F(x) = 0.25·x^4 - 2·x^3 + 4.5·x^2 - 4·x
∫ (1 bis 4) f(x) dx = F(4) - F(1) = -8 - (-1.25) = -6.75

Tangentengleichung an der Stelle a = 3
t(x) = f'(3)·(x - 3) + f(3) = 0·(x - 3) - 4 = -4
Da es eine parallele zur x-Achse hat sie keinen Schnittpunkt mit der x-Achse und damit auch keinen Schnittwinkel.

Answer 3

$$  f(x)=x^3-6x^2+9x-4 $$

Die Nullstellen findest du hier recht einfach, da die Summe der Koeffizienten Null ist. 1-6+9-4=0

Das bedeutet, dass x=1 eine Nullstelle ist.

Nun Polynomdivision \((x^3-6x^2+9x-4):(x-1)\) und du erhältst eine quadratische Gleichung.

Horner-Schema:

	1	-6	9	-4
	/	1	-5	4
x=1	1	-5	4	0

$$ x^2-5x+4=0 \Rightarrow x_{23}=2,5\pm\sqrt{6,25-4}=2,5\pm1,5\Rightarrow x_2=1; x_3=4 $$