Extrem- und Wendestellen berechnen

Question

ich habe ein paar EVA für zu Hause bekommen. Diese sollen als Wiederholung dienen, aber solche Aufgaben haben wir nie wirklich im Unterricht besprochen, geschweige denn durchgerechnet.

Ich frage deshalb hier einmal um Hilfe.

Es geht um folgende 2 Aufgaben:

1) (x+2)*e^-x

2) e^{-x^2}

Über eine kleine Hilfe wäre ich dankbar!

MfG

Dominik

Answer 1

1) Mit Produkt- und Kettenregel ableiten

$$ f(x)= (x+2)*e^{-x}$$

https://www.desmos.com/calculator/oynodtbape

(f(x) rot; f'(x) blau; f''(x) grün)

$$ u=x+2; u'=1; v=e^{-x}; v'=-e^{-x}$$

$$ f'(x)=e^{-x}-(x+2)\cdot e^{-x}=e^{-x}\cdot(1-x-2)=e^{-x}\cdot(-x-1)=-e^{-x}\cdot(x+1)$$

Zur Kontrolle:

$$ f''(x)=x\cdot e^{-x} $$

2) mit Kettenregel ableiten

https://www.desmos.com/calculator/xecvwi265l

$$ f(x)=e^{-x^2} $$

Innere Ableitung: -2x

$$ f'(x)=-2x\cdot e^{-x^2}$$

Comments

Ich habe mich bisher nur an die 1 ran getraut. Ich kenne so weit beide Regeln.

Die erste Ableitung konnte ich bestimmen, wenn diese richtig ist:

f'(x)= -e^-x-xe^-x

Davon muss ich dann ja noch die 2. Ableitung bilden und dann scheitere ich.

Die Regel geht ja folgendermaßen: f(x)= u'(x)*v(x)+u(x)+v'(x)

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Deine Ableitung ist richtig. Zum Bestimmen des Extremums ist es sinnvoll, auszuklammern. Da die e-Funktion nicht Null wird, muss die Klammer Null sein.

Bei der 2. Ableitung und den Wendepunkten ebenso.

PS: f(x)= u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)

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Wäre dann die besser zusammengefasste Form:

f'(x)= -e^-x*(1+x)?

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Genau! Steht ja auch in meiner Antwort.

Und damit liegt die Extremstelle bei x=-1. Passt ja auch zur Kurve.