Unter welchem Winkel Alpha Extremwertaufgabe

Question

Unter welchem Winkel Alpha Extremwertaufgabe

3 Antworten

Ein anderes Problem?

abakus · Answer 1 · 2020-03-19T09:21:42+0000

Hat die Pyramide die Grundseitenlänge a und die Höhe h, dann ist das Dreieck (ein Eckpunkt, Mittelpunkt der Grundfläche, Spitze der Pyramide) rechtwinklig mit den Seitenlängen s, h und $ \frac{\sqrt{2}}{2} a$.

Weil s "gegeben" ist, kannst du a (und somit auch die Grundfläche a²) in Abhängigkeit von h ausdrücken und das Volumen in Abhängigkeit von h maximieren.

Wenn du die Höhe mit dem maximalen Volumen hast, hast du auch die zugehörige Kantenlänge a.

Für den gesuchten Neigungswinkel gilt tan α = h : ($ \frac{\sqrt{2}}{2} a)$.

Werner-Salomon · Answer 2 · 2020-03-19T14:43:19+0000

Hallo,

anbei die ausführliche Rechnung:Das Volumen der quadratischen Pyramide mit Höhe $h$ und Grundseite $a$ ist$$V = \frac 13 a^2h $$ Die Diagonale der Grundfläche sei $d$. $\frac d2$, $h$ und $a$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck, für das gilt$$h^2 + \left( \frac d2 \right)^2 = s^2 \implies h^2 + \frac{a^2}2 = s^2\\ \implies a^2 = 2(s^2 - h^2) $$das setze in die Volumengleichung ein $$\begin{aligned}V &= \frac 23 (s^2 - h^2)h \\&= \frac23 s^2 h - \frac 23 h^3 \end{aligned}$$und leite nach $h$ ab, und setze die Ableitung zu 0$$\begin{aligned}V' = \frac 23 s^2 - 2h^2 &= 0 && \left| +2h^2\right.\\ \frac 23 s^2 &= 2h^2 && \left| \div 2 \right.\\ \frac 13 s^2 &= h^2 && \left| \sqrt \space \right.\\ h &= \frac 13 \sqrt 3\, s \end{aligned}$$der Sinus des gesuchten Winkels $\alpha$ ist$$ \sin(\alpha) = \frac{h}{s}\\ \implies \alpha = \arcsin\left( \frac hs \right) = \arcsin\left( \frac 13 \sqrt 3 \right) \approx 35,26° $$

Unter welchem Winkel Alpha Extremwertaufgabe

3 Antworten

Ähnliche Fragen

Eingabetools:

Beliebte Fragen:

Heiße Lounge-Fragen: