Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion F(K,L) mit den Inputfaktoren K für Kapital und L für Arbeit auf

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion F(K,L) mit den Inputfaktoren K  für Kapital und L  für Arbeit auf

F(K,L)=K^0.2+L
Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK=0.95 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL=14. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 320 ME produziert werden soll.

a. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor K  im Kostenminimum?
b. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor L im Kostenminimum?
c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator lamna im Kostenminimum?
d. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Problem/Ansatz:

Ich hab es versucht mit der Lagrange Methode aber nicht geschafft, kann mir jemand den Rechenweg zeigen. Ich habe es auch schon mit ähnlichen Aufgaben als Vorlage versucht zu rechnen hab den Rechenweg aber nie geschafft.

Comments

Was hast Du für eine Zielfunktion und für eine Nebenbedingung?

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Nebenbedingung: L= x1^0,2 + x2 = 320

Kostenfunktion 0,95x1 + 14x2

Lagrange Funktion: 0,95x1 + 14x2 - lambna * (x1^0,2 + x2 -320)

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Das ist ja gut. Bei der Nebenbedingung allerdings F= und nicht L= und anstatt x₁ und x₂ könnte man auch K oder L nehmen.

Und jetzt die Lagrange-Funktion dreimal jeweils nach einer der drei Variablen ableiten und gleich Null setzen. Schaffst Du das?

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Genau da komm ich nicht mehr weiter. Bei mir entsteh kein Gleichungssystem mit drei Gleichungen bzw.keins mit dem ich weiter rechnen kann.

L'1 = 0,95 - lambna * (o,2/ x1^0,8) = 0

L'2 = 14 - lambna * 1 = 0

L'3 = x1^0,2 + x2 = 320

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L'1: 0,95 - 0,2 lambda / x₁^0,8

L'2: 14 - lambda

L'3: -x₁^0,2 - x₂ + 320

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Dann waren meine Rechnungen ja sogar richtig. Wie rechne ich jetzt weiter?

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Die drei abgeleiteten Funktionen gleich Null setzen und das Gleichungssystem auflösen.

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Nullgesetzt sind sie ja bereits alle nur schaff ich es nicht das Gleichungssystem zu lösen. Kannst du mir da helfen?

Answer 1

I:   0,95 - 0,2 λ / x₁^0,8 = 0
II:   14 - λ = 0
III:   -x₁^0,2 - x₂ + 320 = 0

Aus II. folgt λ = 14.

Aus I. folgt dann 0,95 - 0,2*14/x₁^0,8 = 0 und x₁ ≈ 3,8618

Aus III. folgt dann auch x₂.

Comments

Muss ich dann um die einzelenen Aufgaben zu lösen

a) Einsatz von K im Kostenminimum = 3,8618 oder 3,6818^0,2 ?

für b) einfach x2 oder?

für c) einfach λ = 14

unf für d) C(x1,x2) mit den Werten eingesetzt?

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a) Einsatz von K im Kostenminimum = 3,8618 oder 3,6818^0,2 ?

Du hast Dich entschieden, x₁ zu schreiben anstatt K. Also gib den Wert von x₁ an, wenn nach K gefragt wird.

b) einfach x2 oder?

Du hast Dich entschieden, x₂ zu schreiben anstatt L. Also gib den Wert von x₂ an, wenn nach L gefragt wird.

c) einfach λ = 14

Richtig! Wenn nach λ gefragt wird, würde auch ich λ angeben...

d) C(x1,x2) mit den Werten eingesetzt?

Keine Ahnung was Du mit C meinst. Die Kostenfunktion nennt sich F. Weiter oben hattest Du sie auch schon L genannt, was ich ebensowenig verstanden habe.