Was ist die Nullstelle von f(x) = ln(x) + ln√(x^2-1)

Question

Aufgabe:

Nullstelle von f(x) = ln(x) + ln√(x^2-1) finden.

Problem/Ansatz:

das Ergebnis soll x0=1/2*√(2(√5 + 1)) sein also 1,272

Ich bekomme bei meiner rechnung etwas anderes raus finde meinen fehler aber nicht.

hier mein rechenweg:

f(x) = ln(x) + ln√(x^2-1)

0 = ln(x) + ln√(x^2-1)

0 = ln(x) * (√(x^2-1))

e^0 = e^ln(x) * (√(x^2-1))

1 = x * (√(x^2-1))

1^2 = x^2 * (x^2-1)

1 = x^4 - x^2

√(1) = x^2 - x

1 + (1/2)^2 =x^2 - x + (1/2)^2

1 + 1/4 = (x - 1/2)^2

√(5/4) = x - 1/2

x = √(5/4) + 1/2

x = 1,618

Comments

Und du bist ernsthaft der Meinung, dass \( \sqrt{x^4-x^2}=x^2-x\) gilt???

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ja, da lag ich wohl falsch, kannst du mir sagen was ich stattdessen tun muss?

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kannst du mir sagen was ich stattdessen tun muss?

Die Lösung von ullim lesen...

(und aufgrund des Definitionsbereichs berücksichtigen, dass nicht alle von ihm angegebenen Lösungen der quadratischen Gleichung auch die Ausgangsgleichung lösen)

Answer 1

$$ \ln(x) + \ln( \sqrt{x^2-1}  = \ln ( x \sqrt{x^2-1}) = 0 $$ also $$ x \sqrt{x^2-1} = 1  $$ oder $$ x^2 (x^2-1) = 1 $$ Quadratische Ergänzung bringt die Lösung

$$  X =  \pm \sqrt{ \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}} } $$

Comments

Ich habe quadratische ergänzung benutzt, aber wo ist mein Fehler?

1^2 = x^2 * (x^2-1)

1 = x^4 - x^2

√(1) = x^2 - x

1 + (1/2)^2 =x^2 - x + (1/2)^2

1 + 1/4 = (x - 1/2)^2

√(5/4) = x - 1/2

x = √(5/4) + 1/2

x = 1,618

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Gleich in er ersten Zeile. Es muss \( 1 = x^2 ( x^2 +1 ) \) heissen und nicht \( 1 = x^2 ( x^2 -1 ) \)

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aber die funktion lautet doch:

f(x) = ln(x) + ln√(x^2-1)

also minus 1 und nicht plus 1

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Ok, habe mich da wohl verguckt. Ich muss dann meine Lösung oben auch korrigieren. Bei Dir ist aber die dritte Zeile falsch. Aus $$ 1 = x^4 - x^2  $$ folgt nicht $$ 1 = x^2 - x $$ sondern $$  1 = \sqrt{ x^4 - x^2 }  $$ Da gehts dann aber nicht mehr weiter. Du  musst vorher \( z = x^2 \) substituieren, quadratische Ergänzng für \( z \) machen und dann rücksubstituieren.

Answer 2

$$ \ln(x) + \ln(\sqrt{x^2-1}) = 0 $$

$$ \ln(x*\sqrt{x^2-1}) = 0 $$

$$ x*\sqrt{x^2-1} = 1 $$

$$ x^2(x^2-1) = 1 \quad |~ u = x^2 $$

$$ u^2-u-1 = 0 $$

$$ u_{1;2} = {1 \mp \sqrt{5} \over 2} $$

$$ x_{1;2;3;4} = \mp \sqrt{1 \mp \sqrt{5} \over 2} $$

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