Volumenberechnung Oberfläche

Question

Aufgabe:

Ein gleichschenkliges Trapez ABCD mit den Parallelseiten AB=a= 12cm und CD=c=6cm und den Winkeln α = β = 60° dreht sich um die Seite AB. Berechne von dem entstehenden Drehkörper den Oberflächeninhalt und das Volumen. Gib zuerst von jedem Teilkörper den Radius und die Höhe an.

Comments

Kennst Du die guldinschen Formeln?

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Kennst Du die guldinschen Formeln?

Die braucht er dafür nicht. Der Drehkörper ist hierbei ja nur aus 2 Kegeln und einem Zylinder zusammengesetzt.

Da von jedem Teilkörper eh Höhe und Radius anzugeben sind ist das errechnen von Volumen und Umfang hier also recht trivial.

Aber vielleicht sagt der Fragesteller einfach mal wobei da die Probleme auftauchen.

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Das Bild zur Aufgabe - nicht ganz zu Ende gedreht:

(klick auf das Bild)

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Als Lösung für die Oberfläche steht: O= 72pi √3

Kann das jemand nachvollziehen?

Answer 1

Ein gleichschenkliges Trapez ABCD mit den Parallelseiten AB=a= 12cm und CD=c=6cm und den Winkeln α = β = 60° dreht sich um die Seite AB.

Es entsteht ein Zylinder mit zwei Kegeln.

Radius der Grundflächen von Zylinder und Kegel ist die Höhe des Trapezes.

Höhe des Zylinders ist CD.

Höhe eines Kegels ist (AB-CD)/2.

Answer 2

TAN(60°) = h/((12 - 6)/2) --> h = 5.196

Dann kann man sich das Trapez mal als Skizze zeichnen:

Answer 3

2 Kegel mit dem Radius 3√3 und der Höhe 3. Ein Zylinder mit dem Radius 3√3 und der Höhe 6.

Answer 4

$$\text{Oberfläche Kegel}\\M_K=\pi\cdot r\cdot s\\ = \pi\cdot 3\sqrt{3}\cdot6\\ =18\pi\sqrt{3}\\ \text{von beiden Kegeln also}\\ 36\pi\sqrt{3}\\[30pt] \text{Mantelfläche Zylinder}\\ M_Z=2\cdot\pi\cdot r\cdot h\\ =2\pi \cdot 3\sqrt{3}\cdot 6\\ 36\pi\sqrt{3}$$

Beide zusammen ergeben dann $$72\pi\sqrt{3}$$